Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-9 _нтегрування по просторах нск_нченної м_ри

2

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

9. Інтегрування по просторах нескінченної міри

Нехай A простір з скінченою мірою, так що . Тому існує монотонно неспадна послідовність вимірних множин , для якої та . Нехай - невід’ємна ВФ. Оскільки усі множини - вимірні та мають скінчену міру, то мають зміст інтеграли , при цьому одержана послідовність інтегралів також неспадна. А тому існує скінчена чи нескінченна границя .

Інтеграл Лебега від невід’ємної ВФ по множині з скінченою мірою визначається рівністю: . Якщо остання границя скінчена, то функцію називають сумовною, або інтегрованою за Лебегом на просторі .

Теорема 1.	(Визначення ІЛ коректне)
	ІЛ не залежить від вибору вичерпної послідовності множин .

Нехай тепер - ВФ довільного знаку, тоді розглянемо невід’ємні функції . Тоді природно дати таке визначення: - називається сумовною, або інтегрованою за Лебегом на множині , якщо сумовані обидві функції . При цьому інтеграл Лебега визначається рівністю: .

Також неважко показати, що сумовність функції еквівалентна сумовності функції , а також усі властивості, такі як лінійність, інтеграл від нерівних функцій тощо залишаються чинними. Теореми про граничний перехід також будуть справджуватись у цьому випадку.

Теорема 2.	(Зв’язок ІЛ та невласного ІР другого роду)
	Для абсолютної збіжності невласного ІР необхідно й достатньо, щоб функція була сумовною на . При виконанні цих умов має місце рівність: .

Теорема 2.	(Зв’язок ІЛ та невласного ІР першого роду)
	Для абсолютної збіжності невласного ІР необхідно й достатньо, щоб функція була сумовною на . При виконанні цих умов має місце рівність: .