Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 01 Вступ до анал_зу - копия / Пар 1-04 Посл_довност_

9

Глава 1

Вступ до аналізу

4. Числові послідовності

В подальшому будемо розглядати лише УП або , всі множини будуть вибиратися саме з цих просторів.

Числовою послідовністю називається відображення , де називається n-м членом послідовності. Іноді послідовності також позначають таким чином: , або просто .

Точка називається границею послідовності , якщо (метричне означення границі), при цьому будемо записувати , або при (або просто ).

Якщо використати поняття околу в УП можна дати еквівалентне топологічне означення границі: точка називається границею послідовності , якщо .

Відміна топологічного означення від метричного полягає в тому, що воно спрацьовує у випадку (тобто ), достатньо лише розглянути відповідний окіл такої точки . Метричне означення границі для цих випадків (коли в якості границі виступає символ ) треба записати таким чином:

;

.

В подальшому також будемо визначати:

.

Якщо послідовність має скінчену границю, вона називається збіжною, в протилежному випадку – розбіжною. Послідовності, що мають нескінченну границю називаються нескінченно великими. Дуже такі послідовності поводять себе дуже схоже до збіжних послідовностей, на відміну від розбіжних, а тому деякі твердження чи означення (наприклад, топологічне означення границі) ми будемо давати одночасно до обох типів збіжних послідовностей, але в цьому випадку будемо обов’язково попереджувати про цей факт.

Теорема 1.	(Зв’язок метричного та топологічного означень границі послідовності).
	Метричне та топологічне означення границі числової послідовності еквівалентні .

Доведення. Проведемо його лише для випадку , випадки розглядаються аналогічно. Нехай .

Метричне топологічне. Нехай - довільний окіл точки . Покладемо тоді .

Топологічне метричне. Нехай - довільне додатне число, оскільки інтервал є околом точки , то за топологічним означенням границі .

Теорема доведена.

Приклад 1.	Знайти границю: .
	Доведемо, що . Виберемо довільне , тоді розглянемо . Виберемо , тоді - що й треба було показати.

Теорема 2	(Про обмеженість зверху збіжної послідовності).
	Нехай .Якщо , то .

Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком топологічного означення границі послідовності, тому що промінь є околом точки .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Про обмеженість знизу збіжної послідовності).
	Нехай .Якщо , то .

Наслідок 2.	(Про послідовності з різними границями).
	Нехай , .Якщо , то .

Доведення. Нехай , тоді з теореми та першого наслідку и , тоді виберемо .

Наслідок доведено.

Наслідок 3.	(Про єдиність границі).
	Якщо послідовність збіжна, то її границя єдина.

Доведення. Достатньо припустити, що і , де , тоді з наслідку 2 ми одержимо, що - суперечність, що завершує доведення наслідку.

Наслідок 4.	(Перехід до границі в нерівностях).
	Нехай нерівність виконується для нескінченної кількості індексів . Якщо , , то .

Доведення. Припустимо, що , тоді з наслідку 2 одержимо, що , тобто протилежна нерівність виконується лише для скінченої кількості індексів, що суперечить умові.

Наслідок доведено.

Теорема 3.	(Про двох поліцаїв).
	Якщо для послідовностей і , то .

Доведення. З існування границь ми маємо: .

Теорема доведена.

Приклад 2.	Знайти границю: .
	Розглянемо такі очевидні нерівності: , аналогічно , з попереднього прикладу ми знаємо, що , при а тому за теоремою й .

Для довільної послідовності позначимо через (або ) та відповідно верхню та нижню межу множини . Послідовність називається обмеженою (обмеженою зверху, обмеженою знизу) відповідно до обмеженості множини її значень .

Теорема 4.	(Зв’язок між верхньою межею та границею послідовності).
	Нехай . Тоді послідовність має верхню межу і , причому .

Доведення. Припустимо, що . Тоді за теоремою 2 . Позначимо через найбільшу точку скінченої множини . Тоді ми одержимо, що - найбільший член послідовності , з чого слідують очевидні оцінки - що й треба було одержати.

Перейдемо до другого випадку теореми. Якщо є мажорантою множини членів послідовності, і оскільки , то ще й точка дотикання цієї множини, а тому з теореми про топологічну властивість верхньої межі слідує, що .

В іншій бік, якщо .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Зв’язок між нижньою межею та границею послідовності).
	Нехай . Тоді послідовність має нижню межу і , причому .
Наслідок 2.	(Обмеженість збіжної послідовності).
	Якщо послідовність збіжна в , то вона обмежена, тобто .

Послідовність називається неспадною (зростаючою), якщо ; послідовність називається незростаючою (спадною), якщо . Усі послідовності, що задовольняють наведеним означенням, називаються монотонними, а зростаючі та спадні послідовності називаються строго монотонними.

Теорема 5.	(Збіжність неспадної послідовності).
	Нехай послідовність неспадна і . Тоді .

Доведення. Розглянемо випадок . Виберемо довільне число . Тоді інтервал є околом точки і за топологічною властивістю верхньої межі вона є точкою дотикання, з чого слідує, що . Повністю аналогічно проводиться доведення у випадку .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Збіжність незростаючої послідовності).
	Нехай послідовність незростаюча і . Тоді .
Наслідок 2.	(теорема Вейєрштрасса).
	Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.

Приклад 3.	Нехай . Дослідити послідовність на збіжність.
	Спочатку доведемо обмеженість зверху послідовності методом математичної індукції. - виконується. Припустимо, що для деякого натурального - обмеженість зверху доведена, знизу очевидно послідовність обмежена нулем, тобто послідовність обмежена. Дослідимо на монотонність. при - неспадна за теоремою Вейєрштрасса - послідовність збіжна. Далі ми розглянемо як знайти і границю цієї послідовності.

Якщо , то послідовність називається нескінченно малою, при цьому будемо записувати (о-мале). Обмежену послідовність будемо позначати символом (О-велике). Символи називаються символами Ландау.

Сумою, різницею, добутком та часткою послідовностей та з називаються відповідно послідовності - , , та (у випадку частки вважаємо ). Останнім обмеженням можна знехтувати, якщо розглядати послідовності та з простору , тоді можна вважати , але при розгляданні подібних випадків, будемо наголошувати на цьому факті окремо.

Теорема 6.	(Критерій збіжності послідовності через нескінченно малу послідовність).
	.

Доведення. З означення границі легко одержати: .

Теорема доведена.

Послідовність називається стаціонарною, якщо у неї всі члени співпадають. Таким чином, кожна збіжна послідовність є сумою стаціонарної послідовності та нескінченно малої.

Доведемо тепер дві прості, але дуже важливі для теорії послідовностей леми.