4

Глава 1

Вступ до аналізу

5. Підпослідовності

Нехай - деяка послідовність, зростаюча послідовність натуральних чисел. Послідовність називається підпослідовністю послідовності .

Приклад 1.

Для послідовності підпослідовностями є 1) ; 2) ; 3) .

Теорема 1.	(Підпослідовності збіжної послідовності).
	Нехай послідовність збігається і . Тоді будь-яка її підпослідовність також збіжна і.

Доведення. Нехай довільна підпослідовність послідовності . За означенням границі: . З того, що - зростаюча послідовність натуральних чисел, зрозуміло, що . Поєднуючи два останні твердження, ми одержимо, що , з чого слідує, що при .

Теорема доведена.

Точка називається частковою границею послідовності , якщо існує підпослідовність , границя якої дорівнює .

Приклад 2.

У послідовності легко збагнути, що сукупністю часткових границь є множина

Приклад 3.

У послідовності частковими границями є .

Наслідок.	(Множина часткових границь збіжної послідовності)
	Якщо послідовність збігається до числа , то множина її часткових границь є одноелементна множина .

Нехай послідовність з обмежена, тоді множина обмежена, внаслідок повноти існує число . Згідно з властивістю верхньої межі послідовність монотонно незростаюча, крім того очевидно, що вона є обмеженою, тому за теоремою Вейєрштрасса має границю, яка називається верхньою границею послідовності і позначається , тобто

(1)

Аналогічно визначається нижня границя послідовності:

(2)

Теорема 2.	(Критерій збіжності послідовності через верхню та нижню границі).
	Для будь-якої обмеженої послідовності виконується нерівність . Рівність можлива тоді і тільки тоді, коли .

Доведення. З очевидної нерівності слідує бажана нерівність, якщо зробити відповідний граничний перехід при .

Необхідність. Нехай тепер . Оскільки . Далі, границя лівої та правої частини співпадають, з чого слідує існування границі середньої послідовності.

Достатність. Нехай тепер існує . Тоді , тобто , але це означає, що .

Теорема доведена.

Наслідок.	(Критерій збіжності необмеженої послідовності через верхню та нижню границі).
	Теорема залишається чинною, якщо послідовність необмежена.

Властивість1.	(Перша властивість верхньої (нижньої) границі).
	Верхня (нижня) границя послідовності є її частковою границею.

Доведення. За побудовою, послідовність монотонно не зростає і має границею число . Розглянемо лише варіант . Інші варіанти розглядаються аналогічно. Тоді можливі два випадки:

1. , тоді - точка дотику в околі є точка з , але вона зліва від . Тому підпослідовність будуємо так: знаходимо відповідну точку для , позначимо її через , далі знаходимо для свою точку і позначаємо її і так далі. Для побудованої підпослідовності виконуються нерівності: , права послідовність прямує до , з чого маємо .

2. : всі . Тобто є точкою дотикання кожної з множин . Тоді для знаходимо : , для знаходимо : з множини : і т.д. Тоді для послідовності ми маємо, що .

Аналогічно доводиться твердження, що стосується нижньої границі (або теж саме в просторі (тобто )).

Властивість доведена.

Властивість2.	(Друга властивість верхньої (нижньої) границі).
	Верхня (нижня) границя послідовності є її найбільшою (найменшою) частковою границею.

Доведення. Доведемо знову лише для верхньої границі методом від супротивного. Нехай і : при . Але тоді послідовність , яка монотонно не зростаюча та прямує до , починаючи з якогось номера стане менше за . А тоді - суперечність.

Властивість доведена.

Теорема 3.	(Про монотонну підпослідовність).
	З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити монотонну підпослідовність

Доведення. Нехай дано послідовність . Якщо серед членів послідовності є найбільший , то послідовність є незростаюча (за властивістю верхньої межі, що в цьому випадку співпадає з найбільшим елементом), і вона є шуканою.

Якщо припустити протилежне, тобто серед членів

(3)

нема найбільшого, то вибираємо монотонну підпослідовність таким чином: за виберемо перший член останньої послідовності (3), який більше за , а далі за принципом математичної індукції: нехай вже вибрано , де . Тоді в якості виберемо першій з членів послідовності , який більше за . Він існує, бо інакше серед членів наведеної послідовності - найбільший, а тому і послідовність (3) має найбільший елемент. За принципом математичної індукції побудовано потрібну зростаючу послідовність , яка є підпослідовністю .

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Больцано-Вейєрштрасса).
	З кожної обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність

Доведення. Це є наслідком попередньої теореми, якщо згадати, що вибрана підпослідовність не лише монотонна, а ще й обмежена.

Теорема доведена.

Якщо тепер розглянути всі послідовності в просторі , то всі твердження та означення знову мають місце, якщо вважати збіжною послідовність, що прямує до або . Для необмеженої зверху (знизу) послідовності покладемо . Тоді легко зрозуміти, що кожна послідовність має верхню та нижню границю, крім того, кожна монотонна послідовність має границю.

Теорема 5.	(Кантора).
	В повному упорядкованому просторі кожна спадна послідовність обмежених замкнених та непорожніх множин має непорожній перетин.

Доведення. Виберемо в множині довільну точку . Тоді послідовність обмежена - збіжна до деякої точки . Очевидно, що є точкою дотикання з замкненості .

Теорема доведена.