Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-16 Адитивна функц_я областей

3

Глава 8

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

16. Адитивна функція областей та її густина

Розглянемо напружений метричний простір . Функція комірок , , називається адитивною функцією комірок (АФК), якщо виконується рівність:

, (1)

яка виконується кожного разу, коли комірка та комірки не мають спільних внутрішніх точок.

Прикладом АФК можуть бути об’єм, інтеграл Рімана, тощо.

Властивість.	(Лінійність АФК)
	Якщо - АФК, то функція також є АФК.

Якщо , то частка називається середньою густиною АФК на комірці .

Послідовність комірок стягується до точки при , якщо точка розміщена всередині або на межі кожної комірки та будь-яка куля з центром в точці містить усі ці комірки, починаючи з деякого . При цьому ми будемо записувати .

Нехай послідовність , якщо при цьому послідовність середніх густин , де має границю , що не залежить від вибору послідовності комірок , яка стягується до точки , то цю границю називають густиною АФК в точці :

. (2)

Розглянемо АФК, яка визначена таким чином:

, (3)

де , - неперервна на компакті функція, а - довільна комірка. Нехай , тоді з теореми про середнє маємо:

. (4)

Таким чином ми показали таку властивість АФК:

Властивість.	(АФК, що визначена за допомогою інтегралу)
	Якщо АФК визначається за допомогою формули (3), то вона є інтегралом Рімана від своєї густини.

Спробуємо узагальнити це твердження на більш загальний клас АФК.

Лема 1.	(Лінійність АФК)
	Нехай - нагружений метричний простір. Якщо при розбитті комірки на комірки без спільних внутрішніх точок та кожна з яких має додатну міру, середня густина АФК на кожній комірці за модулем менша за деяку сталу , то і середня густина на усій комірці також за модулем менша цієї ж сталої .

Доведення. За припущенням

.

Лема доведена.

Нагадаємо, що метричний простір називається повним, якщо кожна фундаментальна послідовність в цьому просторі збігається.

Лема 2.	(АФК з нульовою густиною)
	Нехай - повний нагружений метричний простір. Якщо густина АФК тотожньо дорівнює нулеві, то й сама функція є нулем на кожній комірці.

Доведення. Припустимо від супротивного, що для якої та . Тоді виконується умова:

. (5)

Розіб’ємо комірку на комірки з додатними мірами та такими, що діаметри цих комірок не перевищують . Якби виконувалась нерівність , то з леми 1 і для комірки буде виконуватись така ж сама нерівність, що суперечить припущенню (5). Таким чином : , та . Позначимо цю комірку через . Проведемо аналогічне розбиття комірки на комірки з додатними мірами та діаметрами, що не перевищують . Так само знайдеться комірка для якої виконуються умови: , та . І дак далі продовжимо процес до нескінченності, тоді ми одержимо послідовність вкладених комірок , діаметри яких прямують до нуля. З повноти простору ці комірки стягуються до деякої точки . Для цього достатньо просто вибрати по одній точці з кожної комірки, одержати послідовність , яка є фундаментальною, а тому і збіжною. Її границею і є точка . З побудови послідовності ми маємо такі умови: , а також . Одержана суперечність доводить лему.

Теорема 1.	(Визначення АФК з неперервною густиною)
	Якщо АФК має на компакті (який виступає в якості повного нагруженого метричного простору) має неперервну густину , то для кожної комірки виконується рівність:
		(6)

Доведення. Розглянемо АФК , яка визначається через інтеграл: . Тоді її густина в кожній точці дорівнює . Розглянемо АФК . Її густина в кожній точці дорівнює нулеві, а тому з леми 2 і сама АФК є тотожнім нулем, але це й означає, що .

Теорема доведена.