Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-18 Скалярн_ й векторн_ поля
.doc
Глава 8
Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли
18. Скалярні та векторні поля
Нехай деяка область (відкрита чи замкнена) евклідового простору . Якщо кожній точці поставлено у відповідність число (вектор ), то кажуть, що в задано скалярне (векторне) поле (СП(ВП)).
Фізичне векторне і скалярне поле не залежить від системи координат.
Приклад 1. |
Якщо в нагруженому компакті з півкільцем комірок з мірою задано АФК з густиною , визначену , то визначене СП густини цієї функції. |
Приклад 2. |
ВП – поле сил тяжіння набору матеріальних точок , . Воно діє на одиничну масу, яка знаходиться в точці , з силою: |
|
|
(1) |
Нехай СП визначене в області , нехай воно диференційоване в точці , тобто це означає, що існує лінійна форма , для якої приріст
. (2)
Градієнтом у точці диференційованого в цій точці СП називається вектор , який визначається з рівності:
, (3)
та позначається
Легко зрозуміти, що рівності (3) задовольняє лише один вектор, насправді, якщо задовольняє (3) , звідки слідує, що , або ж .
Дуже легко встановлюються правила обчислення градієнтів:
|
(4) |
Якщо в евклідовому просторі вибраний ортонормований базис , то для диференційованого в точці СП , маємо:
|
(5) |
Нехай СП задане в , , орт, який задає напрям у точці , , будь-яка точка: . Якщо існує , то ця границя називається похідною СП у точці в напрямі і позначається символом .
Теорема 1. |
(Зв’язок градієнта та похідної в напрямі) |
|
|
Якщо СП диференційоване в точці , то похідна у будь-якому напрямі існує і може бути обчислена за формулою: |
|
|
(6) |
Доведення. Нехай - довільний фіксований напрям і вектор колінеарний . Тоді і тоді маємо:
.
Теорему доведено.
Звідси легко зробити висновок, що в напрямку СП має найбільшу швидкість зростання.
Множина всіх точок , які задовольняють умові , де , називається множиною рівня (або с-рівня) СП.
Припустимо, що множина рівня є гладкою поверхнею в околі точки . На цій поверхні в кожній точці існує дотична площина. Якщо орт лежить в дотичній площині в точці , і , то похідна СП у напрямі дорівнює нулю: .
ВП називається потенціальним, якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого СП . При цьому СП називається потенціалом поля .
Приклад 3. |
Якщо , то , тобто ВП збігається з полем тяжіння точкової одиничної маси, яка знаходиться в точці . Згадуючи поле сил тяжіння: (3.1) |
|
, , |
Із здобутого вище результату та з властивості лінійності операції обчислення градієнта, дістаємо: та , таким чином, поле сил тяжіння є потенціальним, а СП його потенціалом.
Властивість. |
(Про потенціал ВП) |
|
Якщо ВП є потенціальним, то його потенціал визначається з точністю до сталого доданка. |
Доведення. Дійсно, якщо і , то похідна СП в будь-якому напрямку дорівнює нулю .
Властивість доведена.
Нехай - орієнтована гладка чи кусково-гладка крива, ВП , має фізичний зміст сили, - початок, - кінець кривої, одиничний дотичний вектор до кривої в точці , який визначається орієнтацією . Елемент роботи визначається рівністю , а тому на всій кривій:
, (7)
тобто робота дорівнює різниці потенціалів.
Теорема 2. |
(критерій потенціальності ВП) |
|
|
Неперервно-диференційоване ВП є потенціальним у замкненій поверхнево - однозв’язній області тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності: |
|
|
, , |
(8) |
Доведення. З теореми про незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування вираз повний диференціал .
Теорему доведено.