Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
26
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
283.14 Кб
Скачать

3

Глава 8

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

18. Скалярні та векторні поля

Нехай деяка область (відкрита чи замкнена) евклідового простору . Якщо кожній точці поставлено у відповідність число (вектор ), то кажуть, що в задано скалярне (векторне) поле (СП(ВП)).

Фізичне векторне і скалярне поле не залежить від системи координат.

Приклад 1.

Якщо в нагруженому компакті з півкільцем комірок з мірою задано АФК з густиною , визначену , то визначене СП густини цієї функції.

Приклад 2.

ВП – поле сил тяжіння набору матеріальних точок , . Воно діє на одиничну масу, яка знаходиться в точці , з силою:

(1)

Нехай СП визначене в області , нехай воно диференційоване в точці , тобто це означає, що існує лінійна форма , для якої приріст

. (2)

Градієнтом у точці диференційованого в цій точці СП називається вектор , який визначається з рівності:

, (3)

та позначається

Легко зрозуміти, що рівності (3) задовольняє лише один вектор, насправді, якщо задовольняє (3) , звідки слідує, що , або ж .

Дуже легко встановлюються правила обчислення градієнтів:

(4)

Якщо в евклідовому просторі вибраний ортонормований базис , то для диференційованого в точці СП , маємо:

(5)

Нехай СП задане в , , орт, який задає напрям у точці , , будь-яка точка: . Якщо існує , то ця границя називається похідною СП у точці в напрямі і позначається символом .

Теорема 1.

(Зв’язок градієнта та похідної в напрямі)

Якщо СП диференційоване в точці , то похідна у будь-якому напрямі існує і може бути обчислена за формулою:

(6)

Доведення. Нехай - довільний фіксований напрям і вектор колінеарний . Тоді і тоді маємо:

.

Теорему доведено.

Звідси легко зробити висновок, що в напрямку СП має найбільшу швидкість зростання.

Множина всіх точок , які задовольняють умові , де , називається множиною рівня (або с-рівня) СП.

Припустимо, що множина рівня є гладкою поверхнею в околі точки . На цій поверхні в кожній точці існує дотична площина. Якщо орт лежить в дотичній площині в точці , і , то похідна СП у напрямі дорівнює нулю: .

ВП називається потенціальним, якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого СП . При цьому СП називається потенціалом поля .

Приклад 3.

Якщо , то , тобто ВП збігається з полем тяжіння точкової одиничної маси, яка знаходиться в точці . Згадуючи поле сил тяжіння: (3.1)

, ,

Із здобутого вище результату та з властивості лінійності операції обчислення градієнта, дістаємо: та , таким чином, поле сил тяжіння є потенціальним, а СП його потенціалом.

Властивість.

(Про потенціал ВП)

Якщо ВП є потенціальним, то його потенціал визначається з точністю до сталого доданка.

Доведення. Дійсно, якщо і , то похідна СП в будь-якому напрямку дорівнює нулю .

Властивість доведена.

Нехай - орієнтована гладка чи кусково-гладка крива, ВП , має фізичний зміст сили, - початок, - кінець кривої, одиничний дотичний вектор до кривої в точці , який визначається орієнтацією . Елемент роботи визначається рівністю , а тому на всій кривій:

, (7)

тобто робота дорівнює різниці потенціалів.

Теорема 2.

(критерій потенціальності ВП)

Неперервно-диференційоване ВП є потенціальним у замкненій поверхнево - однозв’язній області тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності:

, ,

(8)

Доведення. З теореми про незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування вираз повний диференціал .

Теорему доведено.