Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
26
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
231.42 Кб
Скачать

3

Глава 8

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

4. Інтеграл Рімана на компакті

Нехай - компакт, - обмежена функція, що визначена на цьому компакті, довільний - вимірний брус, що містить в собі компакт . Розглянемо функцію , що дорівнює . Покладемо за означенням . Якщо інтеграл у правій частині існує, то функція називається інтегрованою за Ріманом на компакті , значення інтегралу – інтегралом Рімана (ІР) від функції на компакті , а клас усіх таких функцій позначається .

Надалі при вивченні властивостей будемо вважати, що компакт - зв’язна множина, та встановимо основні властивості інтегралу Рімана на компакті. Легко буде зрозуміло, коли саме умова зв’язності нам потрібна, а коли ні.

Властивість 1.

(Інтегрованість на звуженні)

Якщо , то звуження цієї функції на довільний компакт інтегрована на компакті .

Доведення. Розглянемо функцію . Її точками розриву можуть бути або точки розриву функції , або точки межи компакту . Межа компакту є регулярним обмеженим многовидом, а тому має лебегову міру нуль, перша множина також має лебегову міру нуль з умови , тому і у функції множина точок розриву на брусі має лебегову міру нуль (як об’єднання двох множин лебегової міри нуль), а тому .

Властивість доведена.

Властивість 2.

(Інтегрованість на об’єднанні компактів)

Якщо і , де компакти не мають спільних внутрішніх точок, то .

Доведення. З властивості 1 , нехай далі - довільний брус, що містить компакт . Покладемо , .

Розглянемо довільне розбиття та сукупність проміжних точок . Запишемо інтегральну суму Рімана для компакту : . Деякі комірки розбиття будуть перетинатися лише з компактом , деякі – лише з , а решта – з обома компактами (рис. 1). Тоді ми розіб’ємо наведену інтегральну суму на дві таким чином:

Рис. 1

доданок віднесемо до суми , якщо , віднесемо його до суми , якщо . Якщо ж перетинається з обома компактами, то віднесемо доданок до , а доданок до . Таким чином нами утворено дві інтегральні суми: , . Запишемо рівність: . Порівняємо відповідні доданки, які є в лівій та правій частині: . Деякі з доданків просто скорочуються в лівій та правій частинах, а для інших достатньо переконатися, що справджується рівність: , тому, що в точці за побудовою одна з двох функцій співпадає з , а інша є нулем, якщо точка є внутрішньою точкою компакту чи компакту . Таким чином, достатньо нам при виборі розбиття вибирати сукупність проміжних точок саме таких, що задовольняють вказаній умові. Тепер в рівності залишається зробити граничний перехід при . З умови та слідує, що ліва та права частини збігаються відповідно до лівої та правої частин рівності, що нам треба довести, а тому з властивостей граничного переходу й маємо потрібну рівність.

Властивість доведена.

Властивість 3.

(Лінійність ІР на компакті)

Якщо , , то , при цьому виконується рівність: .

Доведення. Достатньо розглянути брус , а також функції , . Для інтеграла Рімана на брусі властивість лінійності вже доведена, а з неї і слідує властивість лінійності для ІР на компакті.

Властивість доведена.

Властивість 4.

(Інтегрованість добутку)

Якщо , , то .

Доведення безпосередньо слідує з того, що функції і , які визначені аналогічно попередній властивості, задовольняють критерій Лебега, а тому і їх добуток також є обмеженою функцією, з множиною точок розриву лебегової міри нуль.

Властивість доведена.

Властивість 5.

(ІР на компакті від нерівних функцій)

Якщо і , то .

Доведення безпосередньо слідує з аналогічної властивості для функцій і .

Властивість 6.

(Модуль ІР на компакті)

Якщо , то і при цьому виконується нерівність: .

Доведення. Множина точок розриву модуля є підмножиною точок розриву самої функції, а тому з умови слідує, що й . Нерівність між інтегралами слідує з попередньої властивості.

Властивість доведена.

Властивість 7.

(Теорема про середнє для ІР на компакті)

Нехай і - знакостала ( або ). Позначимо , , тоді , для якого виконується рівність:

.

(1)

Якщо ж , то , то рівність (1) набуває вигляду:

(2)

Доведення першої частини теореми повністю співпадає з відповідним доведенням для випадку одновимірного простору. Розглянемо другу частину теореми. З теореми Вейєрштрасса про неперервну функцію на компакті : , . Із зв’язності компакту існує неперервний шлях, що з’єднує ці дві точки. Тобто існує крива, яка має параметричне зображення , де , , . Тоді функція , де - неперервна як композиція неперервних функцій, а тому набуває усіх проміжних значень між будь-якими своїми значеннями, з того, що , , слідує, що : , в якій , з чого й маємо рівність (2).

Теорема доведена.