Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 01 Вступ до анал_зу / Пар 1-06 Критер_й Кош_
.doc
Глава 1
Вступ до аналізу
6. Критерій Коші, теореми Коші та Штольца
Послідовність називається фундаментальною, якщо :
Теорема 1. |
(Критерій Коші). |
Послідовність дійсних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна |
Доведення. Необхідність. Нехай існує . Тоді : : .
Необхідність доведена.
Достатність. Якщо - фундаментальна, то вона обмежена, (див лему 1 з розділу 1.4). За теоремою Больцано-Вейєрштрасса існує збіжна підпослідовність . Із означення фундаментальності , а далі за теоремою про суму двох збіжних послідовностей, одержимо, що збігається.
Достатність доведена.
Теорема доведена.
Послідовність має обмежену варіацію, якщо : .
Лема 1. |
Довести, що послідовність з обмеженою варіацією збіжна. |
Позначимо , вона обмежена та неспадна, з чого слідує, що вона збіжна, і за критерієм Коші – фундаментальна - фундаментальна збіжна. |
Нехай - числові послідовності. Якщо , то будемо записувати та казати, що послідовність є малою в порівнянні з послідовністю .
Лема 2. |
(Критерій о-малості послідовності). |
. |
Доведення. .
Лема доведена.
Теорема 2. |
(Часткові суми о-малої послідовності). |
Нехай , при і . Тоді . |
Доведення. З умови ми маємо, що . Крім того з умови слідує, що .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Границя відношення часткових сум). |
Нехай і . Якщо , то . |
Доведення. Нехай . Оскільки
, (1)
і , то за теоремою 2 права частина (1) прямує до нуля.
Якщо , то за теоремою 2 . Аналогічно випадок .
Теорема доведена.
Наслідок 2. |
(теорема Коші). |
Якщо існує , то існує . |
Доведення. Для доведення достатньо в останньому наслідку покласти .
Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Штольца). |
Якщо послідовність монотонно прямує до , та , то . |
Доведення. Для доведення достатньо в наслідку покласти , ; , . Тоді , .
Теорема доведена.
Приклад 1. |
Знайти . |
; .
|
Для довільних додатних дійсних чисел визначимо:
середнє арифметичне – ;
середнє геометричне – ;
середнє гармонічне – ;
середнє степеневе порядку - .
Узагальнення середнього степеневого на випадок довільного залишаємо читачам.
Приклад 2. |
(Границя середніх – арифметичного, гармонічного, геометричного). |
Нехай послідовність додатних дійсних чисел така, що . Довести тоді, що до тієї ж самої границі збігаються також середнє арифметичне , середнє геометричне і середнє гармонічне чисел . |
|
Твердження для середнього арифметичного безпосередньо слідує з теореми Коші. Для середнього гармонічного також з цієї теореми легко одержати, що , тому що , з чого маємо: . Для середнього геометричного все слідує з теореми про двох поліцаїв та нерівності між середніми: , а тому і . |
Теорема 4. |
(Границя кореня n-го степеня). |
Якщо для послідовності додатних чисел , то . |
Доведення. За останнім прикладом (для середнього геометричного) маємо: .
Теорема доведена.