Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 03 _нтеграл Ньютона-Лейбн_ца / Пар 3-04 _нтегрування _ррац_ональних вираз_в

4

Глава 3

Інтеграл Ньютона-Лебніца

4. Інтегрування ірраціональних функцій

Позначимо через раціональний вираз, що залежить від інших функцій . Розглянемо різні типи ірраціональностей:

Тип 1: , де , .

Нехай - спільний знаменник цих дробів, тоді , Зробимо заміну інтеграл від раціонального виразу.

Приклад 1.

і т.д.

Тип 2: , де .

Аналогічно попередньому , де - спільний знаменник дробів .

Приклад 2.

.

Тип 3: Інтегрування біноміальних диференціалів.

, , .

(1)

Теорема 1.	(Чебишова)
	Для того, щоб інтеграл (1) виражався через елементарні функції, необхідно й достатньо, щоб виконувалась одна з трьох умов (умови інтегрованості (1)):
1)	(перша умова)
2)	(друга умова)
3)	(третя умова)

Приклад 2.	Для кожного з трьох випадків вживають такі підстановки:
1)	, спільний знаменник і , .
2)	одержимо: , де знаменник заміна .
3)	, де знаменник .

Тип 4: Інтегрування .

Метод 1. Підстановки Ейлера.

Інтеграл

(2)

завжди раціоналізується з допомогою підстановок Ейлера.

1. Якщо , тоді використовується підстановка:

(перша підстановка Ейлера)

і раціональні вирази.

2. Якщо , тоді (друга підстановка Ейлера)

і аналогічно першій.

3. Якщо (третя підстановка Ейлера).

Приклад 3.

Метод 2. Метод невизначених коефіцієнтів.

Позначимо через , тоді , де - многочлени від двох змінних, далі і .

Треба навчитися інтегрувати вираз вигляду: , де і многочлени. З відношенням робимо стандартну процедуру виділення цілої частини та розклад на найпростіші дроби треба навчитися інтегрувати такі вирази:

1) ; 2) ; 3) .

Розглянемо їх по черзі:

1) ,

(3)

де коефіцієнти многочлену і - невідомі, які знаходяться шляхом диференціювання рівності (3):

.

Приклад 4.

2)

- зводиться к типу 1).

Приклад 5.

3)	:
а)
	.
б)
	заміна раціоналізація,
		; ;
	.
в)	Нехай заміна зводить до випадку б).
г)	Загальний випадок заміною та відповідним підбором і зводить інтеграл до випадку в).