Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 03 _нтеграл Ньютона-Лейбн_ца / Пар 3-06 Перв_сна в широкому розум_нн_
.doc
Глава 3
Інтеграл Ньютона-Лебніца
6. Первісна в широкому розумінні
Внаслідок
зв’язку між похідною та первісною
(інтегралом Ньютона-Лейбніца) можна
стверджувати, що первісна неперервної
функції на проміжку повинна бути
неперервною і навіть диференційованою.
Але тоді, якщо,
є первісною функції
,то
.
Але, за теоремою Дарбу,
приймає всі проміжні значення між
та
(хоча може бути розривною). Тому, навіть
найпростіші кусково неперервні функції
можуть не мати первісної, бо не приймають
усіх проміжних значень.
Узагальнимо це поняття.
Нехай
- деякий проміжок, функція
називається первісною
в широкому розумінні
функції
,
якщо
- неперервна і має похідну
,
яка дорівнює
в усіх точках множини
,
за виключенням , можливо, не більш як
зліченої множини
.
|
Приклад 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
;
вона
неперервна, і
.
|
Теорема 1. |
(Зв’язок між первісними в широкому розумінні) |
|
|
Нехай
|
первісні
в широкому розумінні функції
,
тоді
. Доведення
теореми.
та
неперервні
та диференційовані в усіх точках множини
.
Тоді для функції
ми маємо
з
наслідку з теореми Лагранжа
.
Теорему доведено.
Це все не стосується первісних від неперервних функцій, які існують.
|
Приклад 2. |
|
