15

Глава 10

Міра Лебега

1. Теорія множин

Нехай - основний простір, всі елементи, а також множини, що розглядаються в даному розділі належать цьому простору.

Нехай деяка послідовність множин з. Назвемоверхньою границею послідовності множин множину усіх, що належать нескінченній кількості множин з, і позначимо її через;нижньою границею послідовності множин множину усіх, що належать всім множинам з, починаючи з деякої, і позначимо її через. Будемо казати, щопослідовність множин має границю, якщо виконується рівність , множину, що є спільним значенням цих двох границь будемо називатиграницею послідовності позначатимемо.

Непорожня система множин R називається кільцем, якщо вона замкнена відносно операцій об’єднання та різниці, тобто з умови R , R слідує, що R, R .

Зрозуміло, що кільце також замкнене відносно скінчених об’єднань та перетинів.

Алгеброю A множин називається кільце R підмножин множини , що містить.

Очевидно, що алгебра замкнена відносно операції доповнення, тобто з умови A A.

Диз’юнктним об’єднанням сукупності множинназивається об’єднання попарно неперетинаючихся множин, таку систему множин також називатимемодиз’юнктною.

Лема 1.	(Подання об’єднання через диз’юнктне об’єднання)
	Нехай - довільна послідовність множин, що належить кільцюR . Тоді існує така диз’юнктна послідовність множин R , що задовольняє умови: 1) ; 2),.

Доведення. Достатньо вказати принцип побудови послідовності R : ,,,...,,...

Лема доведена.

Кільце множин R (алгебра множин A) називається кільцем (сигма кільцем) (алгеброю), якщо воно разом з довільною послідовністю містить також і їх об’єднання . (Замкненість відносно зліченого об’єднання, або об’єднання).

Для будь-якої не порожньої системи множин підмножин множининазвемоRкільцем, що породжується множиною (породженим кільцем), або кільцевою оболонкою множини , таке кільце, що містить , а також само міститься в будь-якому іншому кільці, що містить. Повністю аналогічно визначаєтьсяпороджена алгебра, кільце, алгебра.

Теорема 1.	(Про породжене кільце)
	Для будь-якої не порожньої системи підмножин множиниіснує одне і тільки одне породжене кільцеR.

Доведення. Кільця, що містять існують, наприклад одним з таких буде множина. Розглянемо перетин усіх кілець, що містять:R, де- сукупність усіх кілець, що містить. Очевидно за побудовою, щоR- кільце, що містить, крім того воно міститься в усіх інших кільцях. Звідси також слідує, що воно єдине.

Теорема доведена.

Наведене доведення не є конструктивним. Але можна легко вказати засіб побудови R- це сукупність множин, що утворюються з множинв результаті застосування скінченої кількості операцій об’єднання та віднімання.

Аналогічно доводиться існування породженого кільця, алгебри,алгебри.

Приклад 1.

Нехай - дійсна вісь,- сукупність усіх півінтервалів типу. Легко зрозуміти, що породженим кільцемRє сукупність множин, що складається із об’єднань скінченої кількості півінтервалів.

Півкільцем назвемо сукупність множин, що є замкненим відносно перетину, а також має властивість::.