Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-05 Формула Тейлора

2

Глава 5

Функції векторного аргументу

5. Формула Тейлора

Теорема 1.	(Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа)
	Нехай функція - раз диференційована в деякому околі точки . Тоді справджується формула:
	,	(1)
	Яка називається формулою Тейлора, а вираз
		(2)
	Називається залишковим членом у формі Лагранжа.

Доведення. Нехай і при фіксованому розглянемо функцію , . Тоді . За умовами теореми має похідну при можемо записати формулу Тейлора для функції однієї змінної :

, (3)

Де .

Внаслідок лінійної залежності аргументу від компонент , то та . Якщо тепер ці рівності підставити в (3) ми одержимо потрібну формулу (1).

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Локальна формула Тейлора)
	Нехай функція - раз диференційована в точці . Тоді при , де справджується формула:
	,	(4)
	Яка називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.

Доведення проведемо за індукцією.

При маємо: .

припустимо, що (4) справджується , тобто маємо рівність:

. (5).

Розглянемо функцію:

, (6)

де .

Розглянемо похідні: , . Враховуючи, що - це -лінійна симетрична форма від змінних , одержимо:

, (7)

де , .

Для кращого розуміння наведеного вище розглянемо простий приклад для функції трьох змінних:

.

, де .

Продовжимо далі наше доведення. З формули (7) остаточно ми маємо:

. (8)

За припущенням , , а тому за формулою скінчених приростів Лагранжа , :

. (9)

З того, що :

Теорема доведена.