Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
25
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
176.64 Кб
Скачать

3

Глава 5

Функції векторного аргументу

10. Умовний екстремум

Нехай нам задана функція :

, (1)

на яку накладено додатково умов:

- (2)

умови зв’язку.

Функція вигляду (1) має в точці , яка задовольняє умови зв’язку (2) умовний екстремум, якщо існує такий окіл , у якому для кожної точки якого , що задовольняє (2), виконується умова (умовний максимум), або (умовний мінімум).

Теоретичний метод дослідження

Треба позбутися від умовності, тобто звести цю задачу до задачі на безумовний екстремум. Нехай усі функції в умовах (1),(2) мають неперервні часткові похідні в деякому околі точки . Нехай в матриці хоча б один з мінорів в точці не дорівнює нулеві, і будемо вважати, що це останній визначник матриці розміру :

, . (3)

Тоді система (2) визначає неявних неперервно диференційованих у відповідному околі функцій:

, (4)

при цьому , . Підставляючи (4) в (1) ми одержимо функцію від змінних:

, (5)

при цьому умов зв’язку вже немає, бо розглядаються лише ті аргументи функції , що задовольняють умови зв’язку, а тому умовний екстремум функції і безумовний екстремум функції співпадають. Необхідна умова екстремуму для функції , тобто точка відповідає точці , що є необхідною умовою для функції в точці :

, , або , де - диференціали незалежних змінних. З інваріантності форми першого диференціалу

. (6)

Підставимо (4) в (2) і одержимо систему тотожностей, а далі диференціюємо її:

, (7)

оскільки , то (7) можна однозначно розв’язати відносно та підставити їх в (6), далі залишається лише зібрати коефіцієнти при і одержимо рівність:

, (6.1)

з чого й одержимо рівнянь: , . Якщо сюди додати (2), то ми остаточно маємо рівнянь для знаходження точки, підозрілої на екстремум.

Метод невизначених множників Лагранжа

Помножимо - те рівняння (7) на невизначений множник і додамо до (6):

. (8)

Тепер підберемо невизначені коефіцієнти таким чином, щоб коефіцієнти при , оберталися в нуль, що завжди можна зробити, виходячи з умови (3). Нехай це відбувається при , . Тобто

, . (9)

а тому

, . (10)

Якщо тепер все поєднати, а саме (2), (9), (10), то ми одержимо рівнянь для знаходження координат точки та невизначених множників .

Розглянемо тепер так звану функцію Лагранжа:

,

для цієї функції необхідна умова екстремуму виглядає таким чином:

, . (11)

Нехай має неперервні частинні похідні до другого порядку включно в деякому околі стаціонарної точки . З системи (2), (11) знаходимо підозрілу на екстремум точку та невизначені множники , . Нехай довільна точка з цього околу, що задовольняє умову (2). Розглянемо приріст функції:

,Ю оскільки обидві точки задовольняють умови (2). За формулою Тейлора маємо:

. (12)

Далі з (6) внаслідок (3) виразимо через та підставимо у (12). Одержимо квадратичну форму відносно незалежних змінних , з якої й з’ясовуємо наявність чи відсутність екстремуму.