Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-10 Умовний екстремум
.doc
Глава 5
Функції векторного аргументу
10. Умовний екстремум
Нехай нам задана функція :
, (1)
на яку накладено додатково умов:
- (2)
умови зв’язку.
Функція вигляду (1) має в точці , яка задовольняє умови зв’язку (2) умовний екстремум, якщо існує такий окіл , у якому для кожної точки якого , що задовольняє (2), виконується умова (умовний максимум), або (умовний мінімум).
Теоретичний метод дослідження
Треба позбутися від умовності, тобто звести цю задачу до задачі на безумовний екстремум. Нехай усі функції в умовах (1),(2) мають неперервні часткові похідні в деякому околі точки . Нехай в матриці хоча б один з мінорів в точці не дорівнює нулеві, і будемо вважати, що це останній визначник матриці розміру :
, . (3)
Тоді система (2) визначає неявних неперервно диференційованих у відповідному околі функцій:
, (4)
при цьому , . Підставляючи (4) в (1) ми одержимо функцію від змінних:
, (5)
при цьому умов зв’язку вже немає, бо розглядаються лише ті аргументи функції , що задовольняють умови зв’язку, а тому умовний екстремум функції і безумовний екстремум функції співпадають. Необхідна умова екстремуму для функції , тобто точка відповідає точці , що є необхідною умовою для функції в точці :
, , або , де - диференціали незалежних змінних. З інваріантності форми першого диференціалу
. (6)
Підставимо (4) в (2) і одержимо систему тотожностей, а далі диференціюємо її:
, (7)
оскільки , то (7) можна однозначно розв’язати відносно та підставити їх в (6), далі залишається лише зібрати коефіцієнти при і одержимо рівність:
, (6.1)
з чого й одержимо рівнянь: , . Якщо сюди додати (2), то ми остаточно маємо рівнянь для знаходження точки, підозрілої на екстремум.
Метод невизначених множників Лагранжа
Помножимо - те рівняння (7) на невизначений множник і додамо до (6):
. (8)
Тепер підберемо невизначені коефіцієнти таким чином, щоб коефіцієнти при , оберталися в нуль, що завжди можна зробити, виходячи з умови (3). Нехай це відбувається при , . Тобто
, . (9)
а тому
, . (10)
Якщо тепер все поєднати, а саме (2), (9), (10), то ми одержимо рівнянь для знаходження координат точки та невизначених множників .
Розглянемо тепер так звану функцію Лагранжа:
,
для цієї функції необхідна умова екстремуму виглядає таким чином:
, . (11)
Нехай має неперервні частинні похідні до другого порядку включно в деякому околі стаціонарної точки . З системи (2), (11) знаходимо підозрілу на екстремум точку та невизначені множники , . Нехай довільна точка з цього околу, що задовольняє умову (2). Розглянемо приріст функції:
,Ю оскільки обидві точки задовольняють умови (2). За формулою Тейлора маємо:
. (12)
Далі з (6) внаслідок (3) виразимо через та підставимо у (12). Одержимо квадратичну форму відносно незалежних змінних , з якої й з’ясовуємо наявність чи відсутність екстремуму.