Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-06 Пох_дн_ та диференц_али вектор-функц_й
.doc
Глава 5
Функції векторного аргументу
6. Похідні та диференціали вектор-функцій
Нехай , тобто , вона називається диференційованою в точці , якщо існує лінійне відображення , для якого виконується співвідношення:
, (1)
При цьому лінійне відображення називається повним диференціалом відображення в точці і позначається .
Якщо диференційована в точці , то його повний диференціал визначений : . Під матрицею лінійного відображення розуміють таку матрицю, -й стовпчик якої утворений розкладом вектора : . Матриця при цьому називається повною похідною відображення та позначається .
Теорема 1. |
(Диференційованість вектор-функції та її компонент) |
|
Відображення диференційовано в точці тоді і тільки тоді, коли кожна компонента цього відображення є диференційованою функцією в цій точці. |
Доведення. Необхідність. Нехай - диференційована в точці , тоді виконується рівність (1). - та компонента вектора має вигляд , , де - лінійна форма з в , якій відповідає матриця рядок, що складається з елементів. З нерівності, про модуль компоненти вектора та норми вектора слідує, що
. (2)
З останнього співвідношення слідує, що і
, . (3)
Необхідність доведена.
Достатність. З диференційованості , виконуються рівності (3) ці рівності можна записати у векторному вигляді: , а тому лінійному відображенню відповідає матриця (повна похідна відображення ):
, (4)
яка називається матрицею Остроградського-Якобі відображення в точці .
Теорема доведена.
У випадку визначник матриці (4)
(5)
називається якобіаном відображення в точці .
Теорема 2. |
(Похідна складного відображення) |
|
|
Нехай функція диференційовано в точці , функція така, що та диференційована в точці . Тоді композиція диференційована в точці та справджується формула: |
|
|
. |
(6) |
Доведення аналогічно випадку композиції розглянутої у попередньому розділі.