Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 05 Функц_ї векторного аргументу / Пар 5-06 Пох_дн_ та диференц_али вектор-функц_й

.doc
Скачиваний:
26
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
133.12 Кб
Скачать

2

Глава 5

Функції векторного аргументу

6. Похідні та диференціали вектор-функцій

Нехай , тобто , вона називається диференційованою в точці , якщо існує лінійне відображення , для якого виконується співвідношення:

, (1)

При цьому лінійне відображення називається повним диференціалом відображення в точці і позначається .

Якщо диференційована в точці , то його повний диференціал визначений : . Під матрицею лінійного відображення розуміють таку матрицю, -й стовпчик якої утворений розкладом вектора : . Матриця при цьому називається повною похідною відображення та позначається .

Теорема 1.

(Диференційованість вектор-функції та її компонент)

Відображення диференційовано в точці тоді і тільки тоді, коли кожна компонента цього відображення є диференційованою функцією в цій точці.

Доведення. Необхідність. Нехай - диференційована в точці , тоді виконується рівність (1). - та компонента вектора має вигляд , , де - лінійна форма з в , якій відповідає матриця рядок, що складається з елементів. З нерівності, про модуль компоненти вектора та норми вектора слідує, що

. (2)

З останнього співвідношення слідує, що і

, . (3)

Необхідність доведена.

Достатність. З диференційованості , виконуються рівності (3) ці рівності можна записати у векторному вигляді: , а тому лінійному відображенню відповідає матриця (повна похідна відображення ):

, (4)

яка називається матрицею Остроградського-Якобі відображення в точці .

Теорема доведена.

У випадку визначник матриці (4)

(5)

називається якобіаном відображення в точці .

Теорема 2.

(Похідна складного відображення)

Нехай функція диференційовано в точці , функція така, що та диференційована в точці . Тоді композиція диференційована в точці та справджується формула:

.

(6)

Доведення аналогічно випадку композиції розглянутої у попередньому розділі.