Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 11 М_ра Лебега / Пар 12_2 Задач_ Посл_довност_ ВФ
.docГлава 12.
ВИМІРНІ ФУНКЦІЇ.
ІНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.
12.2. Послідовності вимірних функцій.
Теорія.
Деяка властивість виконується -майже всюди (майже всюди, майже скрізь), якщо вона справджується на множині , де .
Усі функції, які будуть вивчатися в подальшому вважаються майже всюди скінченими, тобто .
Дві функції називаються еквівалентними, якщо вони майже всюди співпадають. Позначатимемо цей факт так: ~.
Теорема 1. |
(Відношення еквівалентності) |
|
Відношення, що визначено вище є відношенням еквівалентності. |
Послідовність ВФ рівномірно збігається до ВФ .
Послідовність ВФ поточково збігається до ВФ .
Послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ .
Послідовність скінчених ВФ називається збіжною за мірою до ВФ , якщо .
Лема 1. |
(Єдність границі за мірою) |
|
Якщо - ВФ та . Тоді : . |
Теорема 2. |
(Єдність границі за мірою) |
|
Якщо , , то . |
Теорема 3. |
(Лебега) |
|
Якщо послідовність ВФ , то . |
Зауваження. |
Зворотне твердження до теореми Лебега не має місця, тобто існують послідовності вимірних функцій, що збігаються за мірою, але не збігаються майже всюди. |
Теорема 4. |
(Рісса) |
|
Нехай послідовність скінчених ВФ збігається за мірою до ВФ . Тоді з неї можна виділити таку підпослідовність , для якої . |
Зауваження 1. |
Теорема Рісса припускає узагальнення на випадок -скінченної міри. |
Зауваження 2. |
Теорема Лебега не припускає узагальнення на випадок -скінченної міри. |
Теорема 5. |
(Єгорова) |
|
Нехай послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ . Тоді - вимірна множина, така що та на збігається до рівномірно. |
Послідовність ВФ називається фундаментальною за мірою , якщо .
Задачі.
-
Довести, що:
а) якщо - повна міра, то якщо:
1) ~, та - ВФ, то й - ВФ;
2) , - ВФ, то - ВФ;
б) на множині усіх вимірних функцій відношення ”~” є відношенням еквівалентності;
в) будь-яка вимірна за Лебегом функція еквівалентна деякій борелевські функції;
г) ~ та , то ;
д) якщо послідовність вимірних за Лебегом функцій така, що ~, то ~ і ~, де:
1) ;
2) ;
е) якщо , :
1) то ;
2) і , то ;
3) і , то ;
4) ;
5) ;
є) якщо - скінчена міра та , , то:
1) ;
2) ;
3) , при умові, що ~;
4) ;
5) ;
6) ;
7) , при умові, що ;
ж) якщо - скінчена міра, то
1) ;
2) ;
з) для послідовності ВФ та ВФ , якщо:
1) виконується умова ;
2) : ;
и) якщо , то вона фундаментальна за мірою тоді і тільки тоді, коли ;
і) якщо , то - фундаментальна за мірою;
ї) якщо - послідовність вимірних майже всюди скінчених функцій фундаментальна за мірою , тоді існує скінчена ВФ така, що ;
к) якщо - скінчена міра, то будь-яка підпослідовність містить в собі підпослідовність, що збігається до майже всюди;
л) якщо послідовностей ВФ , , а , то ;
м) якщо для скінченої міри послідовність , то існує послідовність множин така, що , а також на множині ;
н) якщо на множині , а також , то ;
о) для скінченої міри на :
1) ;
2) ;
п) якщо для послідовності ВФ та ВФ справджується, що , то на ;
р) якщо - скінчена міра на , та для послідовності ВФ - виконуються умови , , то ;
с) якщо - послідовності ВФ, - скінчена міра, , , то для ВФ виконуються умови:
1) якщо , то ;
2) - вимірної множини та ;
3) якщо , то ;
4) якщо , то ;
5) якщо та , то ;
6) ;
-
З’ясувати:
а) при яких умовах ~, якщо - дискретна міра;
б) що означає збіжність в просторі , де ;
в) які з тверджень пункту 1 є) залишаються чинними, якщо ;
г) як переформулюється теорема Єгорова на випадок послідовності функцій, що збігається до майже всюди;
-
Побудувати:
а) на вимірну за Лебегом функцію, усі еквівалентні якій функції будуть розривними в кожній точці ;
б) для множини та множину на якій буде рівномірною збіжність послідовності ВФ , якщо:
1) ;
2) ;
3) ;
в) вимірну за Лебегом на функцію, що не є еквівалентною жодній неперервній на функції;
-
Дослідити на збіжність послідовність ВФ на множині до деякої функції (тобто, з’ясувати, чи є рівномірна, поточкова збіжність, збіжність майже всюди чи за мірою), де:
а) та дорівнює:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) , де , , , а також знаходиться за правилом ;
6) , де - -те раціональне число проміжку при довільній нумерації;
б) та:
1) ;
-
Перевірити твердження:
а) на випадок -скінченної міри припускає узагальнення:
1) теорема Рісса;
2) теорема Лебега;
3) теорема Єгорова;
б) якщо для скінченої міри , , а також , то ;
в) якщо послідовність ВФ задовольняє умови та , то ;
г) якщо - скінчена дискретна міра, то ;
д) якщо - скінчена міра, то ;
е) якщо , та на множині послідовності ВФ , , то ;
ж) послідовність функцій з задачі 4а)5) не збігається до тотожного нуля в жодній точці проміжку ;
-
Показати:
а) за означенням, що з умови на для ВФ слідує, що:
1) ;
2) ;
-
Описати:
а) в просторі на -алгебрі вимірних множин з мірою збіжність за мірою послідовностей ВФ;