Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 11 М_ра Лебега / Пар 11_1 Теор_я множин

Глава 11.

МІРА ЛЕБЕГА.

11.1. Теорія множин.

Нехай - основний простір, всі елементи, а також множини, що розглядаються в даному розділі належать цьому простору.

Нехай деяка послідовність множин з . Назвемо верхньою границею послідовності множин множину усіх , що належать нескінченній кількості множин з , і позначимо її через ; нижньою границею послідовності множин множину усіх , що належать всім множинам з , починаючи з деякої, і позначимо її через . Будемо казати, що послідовність множин має границю, якщо виконується рівність , множину, що є спільним значенням цих двох границь будемо називати границею послідовності позначатимемо .

Непорожня система множин називається кільцем, якщо вона замкнена відносно операцій об’єднання та різниці, тобто з умови слідує, що .

Зрозуміло, що кільце також замкнене відносно скінчених об’єднань та перетинів.

Алгеброю множин називається кільце підмножин множини , що містить .

Очевидно, що алгебра замкнена відносно операції доповнення, тобто з умови .

Диз’юнктним об’єднанням сукупності множин називається об’єднання попарно неперетинаючихся множин, таку систему множин також називатимемо диз’юнктною.

Лема 1.	(Подання об’єднання через диз’юнктне об’єднання)
	Нехай - довільна послідовність множин, що належить кільцю . Тоді існує така диз’юнктна послідовність множин , що задовольняє умови: 1) ; 2) .

Доведення. Достатньо вказати принцип побудови послідовності : , , ,..., ,...

Лема доведена.

Кільце множин (алгебра множин ) називається кільцем (сигма кільцем) (алгеброю), якщо воно разом з довільною послідовністю містить також і їх об’єднання . (Замкненість відносно зліченого об’єднання, або -об’єднання).

Для будь-якої не порожньої системи множин підмножин множини назвемо кільцем, що породжується множиною (породженим кільцем), або кільцевою оболонкою множини , таке кільце, що містить , а також само міститься в будь-якому іншому кільці, що містить . Повністю аналогічно визначається породжена алгебра, кільце, алгебра

Теорема 1.	(Про породжене кільце)
	Для будь-якої не порожньої системи підмножин множини існує одне і тільки одне породжене кільце .

Доведення. Кільця, що містіть існують, наприклад одним з таких буде множина . Розглянемо перетин усіх кілець, що містять : , де - сукупність усіх кілець, що містить . Очевидно за побудовою, що - кільце, що містить , крім того воно міститься в усіх інших кільцях. Звідси також слідує, що воно єдине.

Теорема доведена.

Зауваження.

Наведене доведення не є конструктивним. Але можна легко вказати засіб побудови - це сукупність множин, що утворюються з множин в результаті застосування скінченої кількості операцій об’єднання та віднімання.

Аналогічно доводиться існування породженого кільця, алгебри, алгебри.

Приклад 1.

Нехай - дійсна вісь, - сукупність усіх півінтервалів типу . Легко зрозуміти, що породженим кільцем є сукупність множин, що складається із об’єднань скінченої кількості півінтервалів.

Півкільцем назвемо сукупність множин, що є замкненим відносно перетину, а також має властивість: : .