Решение
Для начала, убедимся, что 2*B>A. Иначе, все выгодней замостить только плитками 1х1 и больше нечего считать. Далее наша задача максимизировать количество плиток ценой А. Раскрасим наш паркет по принципу шахматной доски. Очевидно, что тогда один конец плитки 2х1 будет лежать на черной клетке, другой — на белой. Итак, построим двудольный граф, одна доля которого будет содержать белые клетки, другая — черные. Ребра весом в 1 проведем между граничащими клетками. Добавим исток с ребрами в белые вершины весом в бесконечность (довольно распространенный прием) и сток с ребрами из черных клеток весом тоже в бесконечность. Пускай f — величина найденного максимального потока между истоком и стоком. Тоесть мы нашли количество плиток 2х1. Ответом к задаче будет величина f*A+(K-f)*B, где K — общее количество испорченных клеток. Источник: Харьковская зимняя школа по программированию, 2009, День 3
Задача живопись. Дана матрица N*M с клетками, покрашенными либо в черный, либо в белый цвета. W — цена перекраски черного квадрата в белый, B — белого в черный. После перекраски, между всеми соседними квадратами разных цветов нужно провести серую линию, ценой G. Надо так отпимально перекрасить матрицу (или ничего не делать), что бы потратить минимальную сумму.
Решение
Крайний случай: если матрица вся одного цвета — ответ 0. Добавим фиктивные исток и сток. От истока ко всем белым вершинам проведем ребра, весом в B (цена перекраски в черный). От черных вершин ко стоку проведем ребра, весом в W (цена перекраски в белый). И между всеми соседними вершинами (будь они одного или разных цветов) — ставим ребро весом в G (серая линия). Величина максимального потока будет ответом на задачу. Источник: Всеукраинская школьная олимпиада по информатике, 2007, День 1
Задача с ограничением на вершины. Пусть надо найти величину максимального потока и на вершины наложено ограничение, сколько они могут пропустить.
Решение
Все, что нам надо — это разделить каждую вершину на две, и между ними поставить ребро, весом в ограничение пропускной способности данной вершины
Минимальный разрез. Дан граф. Сколько вершин надо удалить, что бы не существовало пути из A в B?
Решение
В классической задаче о минимальном разрезе удалять нужно ребра. Не проблема! Разобьем вершины на 2, и поставим между ними ребро, весом в 1. Тогда ответ к задаче — нахождение минимального разреза в графе (что и есть максимальным потоком). Источник: Харьковская зимняя школа по программированию, 2009, День 3
Сочинитель стихов. Имеется детерминированный конечный автомат с одним начальным состоянием A и одним конечным B. Каждый переход задается тройкой чисел (i, j, k), переход из состояния i в состояние j по ребру k. После перехода по автомату из i в j по ребру k, стираются все переходы из i по ребру k, а также все переходы в j по ребру k. Требуется вывести количество путей из A в B по такому автомату.
Решение
Задача сводится к нахождению максимального количества путей, причем из одной вершины не выходят более одного ребра одного цвета. Сведем задачу к нахождения максимального потока. Для каждой вершин создадим k+1 вершину в перестроенной сети. Первая вершина будет входом, остальные вершины будут представлять цвета. Из вершины входа проведем по ребру пропускной способностью 1 в каждую из k вершин, соответствующих цвету. Из вершины соответствующих цвету i проведем все ребра цвета i во входы концов ребер. Найдя максимальный поток в такой сети, получим максимальное количество путей удовлетворяющих требуемому свойству. Источник: Харьковская зимняя школа по программированию, 2009, День 4
Коллекционирование монет. Есть n коллекционеров и m видов монет. Для вступления в клуб, необходимо иметь не меньше одной монеты каждого типа. Вы (у Вас номер 1) можете меняться с коллекционерами имеющимися монетами. Любой коллекционер обменяет монету свою монету a на Вашу монету b, если у него больше одной монеты типа a и нету ни одной монеты типа b. Вы, в свою очередь, можете нарушать это правило. Нужно набрать как можно больше типов монет по известной ситуации у всех коллекционеров.