11-11-2014_20-08-13 / ЗАНЯТИЕ 9 Неопределенный интеграл

1

ЗАНЯТИЕ №9

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Теоретическая часть:

1.Понятие неопределенного интеграла.

2.Свойства неопределенного интеграла.

3.Основные методы интегрирования:

непосредственное интегрирование;

метод подстановки (замена переменных);

интегрирование по частям.

Вопросы и задачи для самоконтроля знаний.

1)Дать определение первообразной.

2)Дать определение неопределенного интеграла.

3)Какая функция называется интегрируемой?

4)Перечислить и доказать свойства неопределенного интеграла.

5)Перечислить методы интегрирования.

6)В чем состоит метод непосредственного интегрирования?

7)В чем состоит метод замены переменной?

8)В чем состоит метод интегрирования по частям?

9)Перечислить группы интегралов, интегрируемых по частям. Объяснить выбор частей u и dv.

Практическая часть:

Вычислить интеграл методом непосредственного интегрирования:

2x 1 2

1.x2 dx

Решение: Для вычисления данного интеграла преобразуем подынтегральную функцию – возведем в квадрат числитель функции, используя формулу сокращенного умножения

Разделим почленно числитель на знаменатель, используя свойство дроби a b a b:

Используя свойства 4 и 5 неопределенного интеграла, запишем полученный интеграл в виде суммы трех интегралов и вынесем постоянный множитель из-под знака интеграла:

Найдем первообразные полученных подынтегральных функций с помощью табличных интегралов (1, 3 и 2 соответственно)

2. tg2x dx

Разделим почленно числитель на знаменатель и запишем полученный интеграл в виде разности двух интегралов

Найдем первообразные полученных подынтегральных функций с помощью табличных интегралов (8 и 1 соответственно)

tg2x dx cosdx2 x dx tgx x C

3. 7x 1 2 dx

Решение: Для вычисления данного интеграла преобразуем подынтегральную функцию – возведем в квадрат числитель функции, используя формулу сокращенного умножения

a b 2 a2 2ab b2 . Получим

7x 1 2 dx 72x 2 7x 1 dx

Воспользуемся свойством степени 72x 72 x 49x , а также свойствами 4 и 5

неопределенного интеграла, запишем полученный интеграл в виде суммы трех интегралов и вынесем постоянный множитель из-под знака интеграла:

7x 1 2 dx 72x 2 7x 1 dx 49x dx 2 7xdx dx

Найдем первообразные полученных подынтегральных функций с помощью табличных интегралов (первые два – с помощью 4-го, третий – с помощью 1-го)

Вычислить интеграл с помощью замены переменной:

4

ln3 x

15. x dx Ответ:

Вычислить интеграл с помощью интегрирования по частям:

16. xcos5x dx

В данном случае нам достаточно найти одну из первообразных, поэтому полагаем С=0. Тогда исходный интеграл можно вычислить с помощью формулы интегрирования по частям:

Тогда исходный интеграл можно вычислить с помощью формулы интегрирования по частям:

6