4Практическое занятие 3
Ранг. Решение систем линейных уравнений
Задания:
3.1. Вычислить ранг матрицы:
1)
; 2)
.
Ответ: 1) 2; 2) 2.
3.2.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) 3; 4) 2.
3.3.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
.
Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 4.
3.4.
Зная основную матрицу
и расширенную матрицу
записать соответствующую им систему
линейных алгебраических уравнений и
решить вопрос о ее совместности или
несовместности, пользуясь теоремой
Кронекера-Капелли:
1)
;
2)
.
Ответ:
1)
,
система несовместна
;
2)
,
т.е. система совместна.
3.5. Доказать совместность систем с помощью теоремы Кронекера-Капелли, записать системы в матричной форме и решить их матричным способом:
1)
2)
Ответ:
1)
; 2)
.
3.6. Решить системы уравнений, используя формулы Крамера:
1)
2)
Ответ:
1)
;
2)
.
3.7. Следующие системы решить по правилу Крамера:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Ответ:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
; 6)
;
7)
;
8)
.
3.8. Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Правильность ответов проверить подстановкой их в исходную систему уравнений.
3.9. Решить системы методом Жордана-Гаусса:
1)
2)
3)
4)
Ответ:
1)
(
любое число);
2)
(
любое число);
3)
;
4)
.
3.10. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Ответы:
1)
;
2)
;
3) система имеет тривиальное решение;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
8)
9)
;
10)
.
3.11. Найти общие решения неоднородных систем, используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных:
1)
2)
3)
4)
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Дополнительные сведения
1.
Ранг матрицы.
Пусть в
матрице
размера
выбраны произвольно
строк и
столбцов
.
Элементы, стоящие на пересечении
выбранных строк и столбцов, образуют
квадратную матрицу порядка
,
определитель которой называется минором
-го
порядка
матрицы
.
Максимальный
порядок
отличных от нуля миноров матрицы
называется ее рангом,
а любой минор порядка
,
отличный от нуля – базисным
минором.
Строки (столбцы)
матрицы
размера
можно рассматривать как систему
арифметических векторов из
(соответственно
).
Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (столбцов); при этом система строк (столбцов) матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в системе всех строк (столбцов) этой матрицы.
Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.
Метод
окаймляющих миноров.
Пусть в матрице найден минор
-го
порядка
,
отличный от нуля. Рассмотрим лишь те
миноры
-го
порядка, которые содержат в себе
(окаймляют) минор
:
если все они равны нулю, то ранг матрицы
равен
.
В противном случае среди окаймляющих
миноров найдется ненулевой минор
-го
порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:
.
Минор 3-го порядка
,
Окаймляющий минор
,
также отличен от нуля. Однако оба минора
4-го порядка, окаймляющие
,
равны нулю:
Поэтому ранг
равен трем, а базисным минором является,
например,
.
Метод
элементарных преобразований
основан на том факте, что элементарные
преобразования матрицы не меняют ее
ранга. Используя эти преобразования,
матрицу можно привести к такому виду,
когда все ее элементы, кроме
,
равны нулю. Следовательно, ранг матрицы
равен
.
Пример 2. Найти ранг матрицы
.
Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь
.
Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг исходной матрицы.