03-09-2014_06-10-43 Рабочая тетрадь / Lecture_1s_1k-4konspekt
.docЛекция 4
4.1. Ступенчатая матрица. Ранг ступенчатой матрицы
Определение 4.1. . _______________________ матрицы называются следующие преобразования:
1) _________________ (строки или столбца) ________________________;
2) ______________________________________________________________ ___________________________________________
3) ___________________________________
Замечание 4. Как правило, получается ________________ матрица _____________ данной.
.
Определение 4.2. Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, _________________________________________________ _________________________________________________________________, а все нулевые строки (состоящие только из нулей) стоят ___________________ строк (строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ___________________.
Пример 4.1. .
Базисным минором, к примеру, данной матрицы является минор:
Пример 4.2. С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду.
Решение.
Теорема 4.1. ______________________________________________________
Теорема 4.2 (_________________________).
1) каждая матрица элементарными преобразованиями _____ приводится к ____________________матрице.
2) ________________________________________________________________
Доказательство
-
возьмем ________________ столбец, содержащий _____________ элементы. _______________________________ так, чтобы один из ненулевых элементов этого столбца оказался __________________ (если первый элемент взятого столбца был равен нулю). С помощью преобразований строк можно получить новую матрицу, в которой все элементы под ____ окажутся равными _____ Чтобы получить нуль на месте элемента _________, достаточно умножить __-ю строку матрицы (где стоит ___) на число _____ и прибавить _-ой строке (где стоит __). Действительно, на месте элемента __ получим ______________
Обратим указанным способом ________________________ _________________ элементом. Первая строка ступенчатой матрицы готова: все ненулевые элементы ______________________ теперь стоят ___________ _____________________ элемента ___________ строки. Применим ту же операцию к матрице, начинающейся со второй строки и так далее. Так как строк – конечное число, то в результате получим ступенчатую матрицу.
2) пусть в ступенчатой матрице имеется __________________. Тогда каждый минор ____-го ___________ порядка содержит _______ строки (хотя бы одну) и потому равен _______. Но имеется хотя бы один минор _-го порядка ________________: наверняка _________________________________, главную диагональ которого образуют первые ненулевые элементы всех _ ненулевых строк. Действительно, такой минор равен ______________ ___________________________________________________________. Значит ______________.
Пример 4.3. Придумать ступенчатую матрицу шестого порядка, чтобы .
Решение.
Пример 4.4. Определить ранг матрицы приведением матрицы к ступенчатому виду.
Решение.
4.2. Теорема Кронекера-Капелли
Пусть задана система: _ линейных уравнений c _ неизвестными:
(4.1)
Определение 4.3. 1) матрица системы (4.1) коэффициентов при неизвестных называется _________ матрицей системы
2) матрица называется ______________ матрицей системы.
Теорема 4.3 (___________________________).
Система линейных уравнений (4.1) ___________ тогда и только тогда, когда
__________. (4.2)
Следствие 1
Система линейных уравнений (4.1) имеет _______________________, если _____________, где – число _________________ в системе.
Следствие 2
Если ___________, то система линейных уравнений (4.1) имеет ____________ _________________________ (т.е. система ____________________).
Пример 4.5. Определить, является ли следующая система совместной:
Решение.
Как видно, _________________, поскольку ранги ___________, то по теореме 4.3 данная система ___________________ (__________________).
4.2. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)
Определение 4.4. Если все свободные члены системы (4.1) равны ______, то система называется ___________________.
Определение 4.5. Две системы называются ____________, если __________ ___________________ системы является ______________________________.
Над системами можно производить следующие линейные преобразования:
-
__________________________________;
-
_____________________________________________________________;
-
_____________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________ .
При исследовании и решении систем линейных уравнений производятся _______________________________________________________, в результате которых получится __________________________ матрица некоторой ______ ___________________________________________:
, . (4.3)
Выберем в матрице ненулевой минор порядка , т.е. _________ минор (его можно выбрать на пересечении первых строк и столбцов, с которых начинаются ненулевые элементы строк). Будем считать, что этот минор расположен в __________________ матрицы Этот минор является ______________________ и равен произведению _______________________.
Нулевые строки матрицы (им соответствуют уравнения _______________________), а также ______________столбцы отбросим Матрица примет вид:
(4.4)
Все элементы базисного минора _____________________ можно сделать равными _____, а элементы главной диагонали равными ________. Таким образом, исходная система (4.1) будет приведена к эквивалентной системе:
(4.5)
или к системе (4.6)
из которой видно, что если _____, то система (4.6) имеет _______________ решение:
, …, .
Если , то переменные – ___________, – ___________ и придавая им произвольные значения , …, , можно записать общее решение системы в виде:
(4.7)
Итак, метод Гаусса состоит в следующем:
-
_____________ матрицу системы _____________________________ приводят к ______________ виду;
-
________________________________________ и делают вывод ___________________________________ системы;
-
в случае _______________ системы в основной матрице _________ __________________ и дальнейшими элементарными преобразованиями ________ добиваются того, чтобы в этом миноре _______________ _______________________________________________________________ ___________________________________________________________;
-
выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, ________________ __________________ и переведя остальные слагаемые в правую часть;
-
если ________,то в ___________ стоят только _______________ и получено ___________________ решение;
-
если _________, то в правой части ________________________. ____________ неизвестные выражаются _____________________. Полученные решения новой системы с _ главными неизвестными называется __________________ системы. Придавая ____________ неизвестным некоторые _________________, из общего решения находят соответствующие _____________________________________ и тем самым находят ________________ исходной системы уравнений.
Пример 4.6. Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:
Решение.