Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

03-09-2014_06-10-43 Рабочая тетрадь / Lecture_1s_1k-6konspekt

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

129.54 Кб

Скачать

☆

Лекция 6

6.1. Система линейных однородных уравнений

Запишем систему линейных однородных уравнений

(6.1)

Однородная система ________________, так как всегда имеется ________________________________________________

Согласно общей теории, если , то ______________ является _________________ решение.

Если же , то решений ___________________, и все они, ____________________________________

Теорема 6.1 (________________________________________________).

Система линейных _________________ уравнений _____________ матрицей имеет ________________ решение тогда и только тогда, когда определитель системы ______ нулю.

Доказательство

По теореме Крамера __________ тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет ________________ решение (т.е. векторы – столбцы системы (6.1) – линейно ___________). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – __________________ Значит, __________________ решения имеются тогда и только тогда, когда ___________ (т.е. решений системы ___________________________).

Любое решение системы линейных однородных уравнений выражается ____________________________________________________________

(6.2)

Покажем, что вектора _______ – _______________. Для этого составим матрицу из их __________:

Ниже черты расположен минор порядка ___, _______________ _______ ______________ матрицы __________________.

Следовательно, вектора ____________________, т.е. эти вектора образуют ____________________________

Определение 6.1. Всякая ________________________ система ____ решений системы линейных ______________ уравнений называется ________________________ системой решений.

Замечание 1. Отличный от нуля минор матрицы порядка , такой, что всякие миноры порядка и выше, (если такие имеются) равны нулю, называется ___________________.

Итак, общее решение системы линейных однородных уравнений:

(6.3)

где _____________________________________________________,

___________________________________________________.

Пример 6.1. Решить систему уравнений

Решение.

6.2. Системы линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим систему __________________ уравнений

________ (6.4)

Пусть .

Пусть __ – решение этой системы, т.е.

______ (6.5)

Вычитая из (6.4) выражение (6.5), получим:

______________.

________ является решением соответствующего _____________ уравнения.

Согласно (6.3) ___________________________.

В нашем случае _________________________

или _____________. (6.6)

Теорема 6.2. ______________ системы линейных ______________ уравнений представляется в виде ______________________________________________ и ______________ соответствующей ей _________________ системы.

Следствие 1. _____________ двух _________________________ систем линейных ________________ уравнений является ____________ соответствующей системы линейных _______________ уравнений .

Следствие 2. ____________________________ системы линейных ________________ уравнений ________________________ соответствующей системы линейных _________________ уравнений дает ________ решение системы линейных _____________________ уравнений.

Замечание 2. В формуле (4.7) (лк. 4) – ___________ решение системы.

Пример 6.2. Решить систему уравнений

Решение.

РАЗДЕЛ II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

6.3. Основные понятия

Обозначение: множество точек прямой – _, плоскости – _, пространства – _.

Пусть точки , причем точки – _________________: например, А – ________, В – _______. Рассмотрим отрезок прямой, расположенный между этими точками.

Определение 6.3. Отрезок АВ называется __________________________, если его концы А и В ___________; если при этом первой является точка _, а второй – точка _, то А – ________________, а В – ____________.

Замечание 3. a) если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется _________ и обозначается __; б) длиной (___________) направленного отрезка ___ называется __________________.

Определение 6.4. Векторы называются ________________, если они расположены на _______ прямой или ______________________________.

Векторы называются ________________, если существует плоскость, которой они ___________________.

Замечание 4. Нулевой вектор ______________ любому другому вектору, так как ___________________________ и его длина равна __________.

Определение 6.5. Два вектора называются ________, если они ______________________________________________________________

Из определения 6.5 следует, что если задан вектор и точка , то можно построить _________________________________________. Другими словами, вектор можно перенести в точку __.

Определение 6.6. Пусть даны вектора : . Тогда вектор __ называется _________ векторов .

Обозначение. ________________.

Правила сложения

а) правило треугольника б) правило параллелограмма

Определение 6.7. Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

векторы и ______________, если _____ и _______________ ___________, если _____;
_____________.

Обозначение. _________.

Замечание 5. 1) произведение вектора на число 0 есть _________ вектор;

2) обозначение ______ означает, что ____________ вектора имеют место быть свойства, идентичные ___________________ векторного пространства, причем свойства __________________. Свойства 6 и 8 проверяются перебором различных вариантов. А свойство 7 следует ________________.

Теорема 6.3 (_________).

Если направленные прямые отсекают одинаковые отрезки на одной стороне угла, то они отсекают одинаковые отрезки на другой его стороне.

6.4. Базис векторов

Теорема 6.4. 1) вектор _____________________ тогда и только тогда, когда он равен ______; 2) векторы ________________________ тогда и только тогда, когда они ________________; 3) векторы _______________________ тогда и только тогда, когда они _________________; 4) любые _________ вектора ____________________.

Следствия

1) _______________________________________________________________;

2) в __ базис состоит из __________________________________________;

3) в __ базис образует ______________ пара _________________ векторов;

4) в __ базис – _________________ тройка __________________ векторов.

Замечание 6. Требование упорядоченности означает, что, например в , и – ________ базисы.

6.5. Проекция вектора на ось

Определение 6.8. Осью назовем прямую, по которой _________________. ________________________________ (направляющий вектор оси), который является __________________ вектором и обычно берется _____________.

Определение 6.9. _____________ точки на ось называется точка , получаемая __________________________________________________ _______________________________________________________________