семестр 1 / лабы / лаба 3 / лаба_3_3_фипоз_метода

значения сопряженной функции f~T(t) определятся значениями f(t) на конечном отрезке времени – в отличие от идеального случая, когда значения f~(t) зависят от значений f(t) на всей временной оси. Идеальное ПГ с конечной памятью определяется сверткой

Импульсная характеристика такого преобразователя Гильберта

где w(t) – функция окна прямоугольной формы. В частотной области hT(t) будет соответствовать свертка

Из-за разрыва второго рода импульсной характеристики в начале координат идеальное ПГ с конечной памятью также физически нереализуемо, поскольку такой преобразователь должен иметь бесконечную полосу пропускания и неограниченную пропускную способность. Физически реализуемую форму ПГ с конечной памятью можно получить в виде свертки сигнала с импульсной характеристикой вида:

Величина Т1 определяет погрешность преобразования в области ВЧ, а Т2 – в области НЧ. Погрешность приближения ПГ может определяться как во временной, так и в частотной области. В [4] критерием точности преобразования служит неравномерность его АЧХ. Используются две среднеквадратические относительные оценки: бесконечная и конечная. Среднеквадратическая бесконечная погрешность определяется как корень квадратный из отношения энергии абсолютной погрешности к энергии f~(t), причем энергия определяется на всей временной оси

Поскольку при обработке сигнала обычно интересуются им на конечном интервале времени, то из двух среднеквадратических оценок больший практический интерес представляет конечная оценка, определяемая соотношением (2.12).

ПГ позволяют дать строгое определение огибающей и фазы сигнала

часто представляют комплексными функциями, формально заменяя cosφ(t) на ejφ(t). При этом неявно утверждается, что амплитуда коле-

бания есть a(t), а сопряженный сигнал – f(t) a(t) sin (t) , в отличие

от сопряженного по Гильберту f~(t). Сигналы f(t) и f(t) имеют неравные амплитудные и энергетические спектры, поэтому комплексный сигнал f t f t j f t , в общем случае, не будет аналитическим.

Поскольку и огибающая, и мгновенная частота – нелинейные функции ортогонального сигнала, а интервал их определения достаточно велик, использование метода линеаризации для аналитического вычисления допустимой погрешности синтеза ортогонального сигнала не представляется целесообразным. Поэтому предельные погрешности синтеза ортогонального сигнала были определены путем компьютерного моделирования. К тестовому колебанию, синтезированному с заданной частотой и амплитудой, аддитивно подмешивался белый шум, так, чтобы обеспечивалось определенное отношение сигнал–шум (ОСШ). Затем определялись соответствующие этому ОСШ относительные среднеквадратические отклонения

(ОСКО) вычисленных модулирующих функций от их заданных значений в тестовом сигнале. ОСКО на выборке в N отсчетов определялось в соответствии с формулой (2.13) для дискретного сигнала:

i 0

где xi , xi – отсчеты сигнала и его оценки, соответственно. В соответствии с графиками на рис. 2.5 выбирались значения ОСШ, соот-

ветствующие пороговой заметности модуляций на слух. Результаты приведены на рис. 2.7. Из графиков видно, что требования к точности ортогонального преобразования существенно выше, если необходимо работать с мгновенной частотой, а не с огибающей сигнала.

2.2.4.О точности формирования ортогонального сигнала на основе БПФ

По критериям простоты вычислительных операций и скорости вычислений был выбран алгоритм преобразования в частотной области с использованием БПФ на основе формулы (2.2):

В этой формуле Xk – коэффициенты БПФ-отсчетов исходного сигнала, X~k – коэффициенты ортогонального сигнала, последовательность Hk – можно интерпретировать как дискретное представление функции jsign(ω). В этом случае для достижения высокой точности необходимо минимизировать просачивание энергии спектральных компонентов сигнала в соседние коэффициенты БПФ путем наложения оконных функций. Очевидно, что чем ниже уровень боковых лепестков функции окна в частотной области, тем выше точность преобразования. Однако уменьшение боковых лепестков сопровождается увеличением ширины основного лепестка.

Поскольку коэффициенты реальной и сопряженной частей спектра изменяются по фазе в противоположные стороны, наибольшим искажениям будут подвергаться сигналы, отображаемые первыми и последними коэффициентами БПФ. Для выбора функции окна можно воспользоваться данными, приведенными в [50]. Наименьшим уровнем боковых лепестков, из приведенных функций, обладает окно Наттолла (или минимальное четырехчленное Блэкмана–Хэрриса). Для оценки искажений на первых и последних коэффициентах дополнительно был произведен анализ параметров оконных функций в частотной области. Для этих коэффициентов вычислялось отношение Rk:

N 1 2 Ei

где Ei – энергия i-го коэффициента; k – номер коэффициента, к спектральной энергии выше которого относилась энергия всех коэффициентов. Данное отношение определяет максимальную теоретическую погрешность синтеза ортогонального сигнала для гармонического колебания, отображаемого k-м коэффициентом, обусловленную свойствами окна.

почти не изменяется.

На рис. 2.9 представлены иллюстрация использования оконной функции для перекрывающихся последовательностей, сглаженных окном (а), и схема алгоритма синтеза ортогонального сигнала (б). Точки с и d соответствуют входу и выходу из алгоритма, причем внутри блока – между точками k и l – может быть произвольное требуемое преобразование сигнала.

На рис. 2.10 представлены погрешности синтеза (отношение сигнал-шум преобразования ОСШп) ортогонального сигнала для гармонического колебания, частота которого соответствовала заданным коэффициентам БПФ.

Из рисунка видно, что ОСШп в пределах бина меняется, достигая минимума меджу бинами. Минимальное ОСШп реализуется на крайних коэффициентах, что ограничивает возможности использования такого способа преобразования в области низких и высоких частот, где зависимости аналогичны. При использовании в практических приложениях, например для обработки ЗВС, необходимо увеличивать длину выборки, а часть коэффициентов – отбрасывать. Данные рис. 2.10 получены при использовании окна Наттолла на длительности 8000 точек. Заметим, что поскольку это окно при перекрытии 50% не

2.3.Фильтрация на основе нелинейного транспонирования спектра комплексного сигнала

Сформулированным выше (разд. 2.1.1) требованиям не отвечает ни один из существующих способов представления звукового сигнала в частотной области, что делает необходимым дальнейшее совершенствование алгоритмов формирования субполосного представления. Одно из направлений таких работ представлено в [12].

Разрешить противоречие между качеством фильтрации и скоростью перестройки параметров при приемлемой вычислительной сложности можно с помощью фильтрации, основанной на нелинейном транспонировании спектра комплексного сигнала и последовательном его ограничении сверху и снизу стационарными фильтрами на основе БПФ (см. Приложение).

Спектр аналитического сигнала s(t) s(t) js ~ (t) , где s(t) – исходный действительный сигнал, а s ~ (t) = H{s(t)} – его ортогональ-

ный сигнал (иначе трансформанта Гильберта) расположен в области только положительных частот, это делает более удобным реализацию ограничивающих фильтров. Умножением на комплекс-

сигнала смещается по оси частот на величину, определяемую значением функции f1(t). Полученный сигнал s1(t) является комплексной

модулирующей функцией сигнала e1 t . Спектр сигнала s1(t) про-

пускается через стационарный ФВЧ и ограничивается (в частотной области) снизу. Полученный сигнал снова смещается умножением

является сигнал s2(t) , который ограничивается сверху стационарным ФНЧ. Фильтрованному сигналу s2(t) возвращается положение на оси частот исходного сигнала s(t) умножением на произведение

e1 t e2 t (функций комплексно сопряженных e1 t и e2 t ). Функции f1 t и f2 t являются параметрами фильтра, определяющими

его «гибкость», т.е. скорость перестройки его центральной частоты и ширины полосы пропускания. В качестве f1 t и f2 t могут быть

выбраны функции, зависящие от сигнала s(t) . В этом случае легко

реализуется адаптивная к сигналу фильтрация, а качество фильтрации определяется характеристиками стационарных фильтров.

Таким образом, разделением функций адаптации к сигналу и фильтрации снимается противоречие между требуемой разрешающей способностью фильтра и скоростью его перестройки, а разнесением во времени операций фильтрации сверху и снизу достигается «подвижность» ширины полосы пропускания. При цифровой реализации такой фильтрации преобразование Гильберта заменяется

конечным дискретным преобразованием Гильберта s ~ (n)= = H{s(n)} , и транспонирование спектра производится умножением отсчетов исходного комплексного сигнала на отсчеты комплексных

и f2(k), значения которых не могут превышать половины значения частоты дискретизации.

Удобно в качестве граничных частот ФВЧ и ФНЧ выбрать «ноль» частотной оси, в этом случае ограничивающая фильтрация сводится к разделению спектров положительных и отрицательных частот,