Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6 / 6

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

336.05 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

На http://technofile.ru – чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции.

Материалы студентам технических вузов!

РЯДЫ

§6.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2.Теоремы сравнения.

3.Признаки Даламбера и Коши.

4.Интегральный признак сходимости ряда.

5.Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

7.Понятие равномерной сходимости.

8.Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9.Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10.Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

11.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12.Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

13.Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14.Разложение по степеням x бинома 1 x m .

15.Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням x функций ex , cosx, sin x, ln 1 x .

	§ 6.2.	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Ряды an и bn сходятся. Доказать, что ряд cn сходится, если an cn bn .

n 1

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства 0 cn an bn an .

an 0

сходится. Доказать, что

Ряд an

ряд an2

тоже сходится. Показать, что

n 1

обратное утверждение неверно.

Ряды an2

и bn2

сходятся. Доказать, что ряд

тоже сходится.

n 1

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство ab a2 b2 .

4. Ряды an2 и bn2 сходятся. Доказать, что ряд an bn 2 тоже сходится.

n 1

Пусть ряд an сходиться и lim

Можно ли утверждать, что сходиться ряд bn ?

n 1

n b

n 1

Рассмотреть пример

n 1

Пусть ряд

fn x

сходиться равномерно на отрезке a, b . Доказать, что ряд fn x

n 1

так же сходиться равномерно на этом отрезке.

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,

б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?

Рассмотреть примеры:

1 n

a)n x2 , отрезок a, b произвольный;n 1



	б)				x 1 x2			, отрезок		0, 1 .
			n 1

	8.		Показать, что функция						f x						sinnx	всюду непрерывна.
	8.		Показать, что функция						f x						n	всюду непрерывна.
														n 1 10
									sinn			2	x
	9.		Доказать, что ряд n 1						sinn				x	сходится равномерно в интервале ,							. Можно ли его
	9.		Доказать, что ряд n 1						n2					сходится равномерно в интервале ,							. Можно ли его
дифференцировать в этом интервале?

	10. Доказать,					что		если	ряд		cn e nx сходиться						в точке			x0 , то он	сходиться абсолютно
											n 1
x x0 .
											§ 6.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
	Задача 1. Найти сумму ряда.
					6															24
1.1.					6			.					1.2.							24	.
1.1.		9n		2				.					1.2.					9n	2	12n 5	.
	n 1	9n			12n 5												n 2	9n		12n 5
					6															9
1.3.					6		.						1.4.							9	.
1.3.		9n		2			.						1.4.					9n	2	21n 8	.
	n 1	9n			6n 8												n 1	9n		21n 8
					2															14
1.5.					2		.						1.6.							14		.
1.5.		4n		2			.						1.6.					49n		2		.
	n 0	4n			8n 3												n 1	49n		28n 45


									3
1.7.									3		.
1.7.		9n			2		3n 2				.
	n 1	9n					3n 2
							1
1.9.							1			.
1.9.				2						.
	n 2	n			n 2
									6
1.11.									6							.
1.11.			36n					2								.
	n 1		36n						24n 5
									4
1.13									4		.
1.13		4n			2		4n 3				.
	n 1	4n					4n 3
									9
1.15.									9			.
1.15.			9n			2						.
	n 1		9n					3n 20
									8
1.17.									8					.
1.17.		16n					2							.
	n 1	16n							8n 15
									5
1.19.									5				.
1.19.			25n					2					.
	n 1		25n						5n 6
									7
1.21.									7								.
1.21.			49n					2									.
	n 1		49n						35n 6
									12
1.23.									12										.
1.23.			36n					2											.
	n 2		36n						12n 35
								3
1.25								3			.
1.25		9n			2		3n 2				.
	n 1	9n					3n 2
									8
1.27.									8						.
1.27.		16n					2								.
	n 1	16n							8n 15
									12
1.29.									12									.
1.29.			36n					2										.
	n 1		36n						12n 35
									14
1.31.									14											.
1.31.			49n					2												.
	n 1		49n						70n 24

Задача 2. Найти сумму ряда.

4 5n

2.1.n 3 n n 1 n 2 .

													7
1.8.													7				.
1.8.							49n				2						.
		n 1					49n						7n 12
													14
1.10.													14									.
1.10.								49n				2										.
			n 1					49n				14n 48
													14
1.12													14							.
1.12							49n				2									.
		n 1					49n						84n 13
													7
1.14													7					.
1.14							49n				2							.
		n 1					49n						35n 6
							14
1.16							14							.
1.16	49n			2		42n 40								.
n 1	49n					42n 40
									7
1.18.									7					.
1.18.		49n			2		21n 10							.
n 1		49n					21n 10
			6
1.20.			6							.
1.20.		4n	2							.
n 1		4n			9
												1
1.22.												1		.
1.22.								n	2					.
			n 2					n		n 2
													7
1.24.													7								.
1.24.								49n				2									.
			n 1					49n					21n 10
													5
1.26.													5			.
1.26.								25n				2				.
			n 1					25n					5n 6
							14
1.28.							14								.
1.28.		49n			2										.
n 1		49n					56n 33
													7
1.30.													7						.
1.30.								49n				2							.
			n 1					49n					7n 12

	n 6
2.2		.
	n n 3 n 2
n 1

3n 5

		5n 3
2.3.		5n 3		.
2.3.				.
n 1	n n 1 n 3
	1
2.5. n 1	1				.
2.5. n 1	n n 1 n 3				.
	1
2.7.	1					.
2.7.						.
n 1 n n 2 n 3
		3n 2
2.9. n 1		3n 2						.
2.9. n 1	n n 1 n 2							.
		5n 2
2.11. n 3		5n 2								.
2.11. n 3		n 1 n n 2								.
		3n 2
2.13. n 1		3n 2									.
2.13. n 1		n n 1 n 2									.
		8n 10
2.15. n 3		8n 10										.
2.15. n 3		n 1 n 2 n 1										.
		n 4
2.17. n 3		n 4							.
2.17. n 3		n n 1 n 2							.
		5n 2
2.19. n 2		5n 2								.
2.19. n 2		n 1 n n 2								.
		3n 4
2.21. n 1		3n 4									.
2.21. n 1		n n 1 n 2									.
		n 6
2.23. n 1		n 6									.
2.23. n 1		n n 1 n 2									.
		1
2.25. n 2		1	.
2.25. n 2		n n2 1	.
		3n 1
2.27. n 3		3n 1					.
2.27. n 3		n 1 n n 1					.
	4
2.29. n 3	4								.
2.29. n 3		n n 1 n 2							.

	4n 2
2.4. n 3
		.
	n2 1 n 2

2.6. n 3 n n2 1 .

2.8.

n 3 n n

n 2

2.10. n 3

n n 1 n 2

2.12. n 1

n 2 n 1 n

n 5

2.14. n 3

n2 1 n 2

3n 1

2.16. n 3

n n2 1

5n 9

2.18. n 1

n n 1 n 3

n 1

2.20. n 1

n n 1 n 2

2 n

2.22. n 3

n n 1 n 2

n 2

2.24. n 3

n 1 n n 1

1 n

2.26. n 1

n n 1 n 3

4 n

2.28. n 1

n n 1 n 2

3 n

2.30. n 1

n 3 n 1 n

3n 8

2.31.n 1 n n 1 n 2 .

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

sin2 nn

3.1. n 1 nn .

cos2 (n 2)

3.3.n 1 n n 1 n 2 .

	2 1		n

3.2. nsin				.
	n	3
n 1

lnn

3.4. . n 1 3 n7

							n
			2 1
3.5.								.

	n 1		n lnn
						cosn
3.7.		n 2							.
						2
	n 1			2n			1
				2	n
3.9.		sin				.
		2
	n 1		n	1
			arccos				1 n n
							n 1
3.11.										.
					n	2
	n 2						2

nlnn

3.13.n2 3.n 2

						2					1			n
		1
3.15.		1	sin												.
										6

n 2	4 n3
	1 sin				n
	1 sin				2
3.17.					2			.
3.17.		n		2				.
n 1		n
	(2 cos						n		)
							n					n
												n
3.19.					2								.

		4 n7 5
n 1		4 n7 5

sin2 2n

3.21.n 1 n2 .

			1 1 n				n
		arctg
		arctg			2
3.6.					2			.
3.6.			n	3	2			.
	n 1		n		2
		arcsin		n 1
		arcsin
3.8.					n	.


	n 2	3 n3 3n

lnn2 3n

3.10. .

n 2	n2 n
	ncos	2	n
3.12.				.
	3
n 1	n 5

n2 3

3.14.n 1 n3 2 sin n 2 .

lnn

3.16.n 1 n3 n 1.

cos2 n

3.18.3n .

n 1	3 2
	2 sin			n				1
	2 sin
3.20.					4		ctg			.
		n	2
			2
n 1									n
		lnn
3.22.		lnn				.

		n5 n
n 1		n5 n

3.23.2 lnn .3 ln2 nn 3 n

	sin
				2n 1
3.25.							.

						n
n 1	n	3 sin

						4
	3 1 n
3.27.					.
		2	n 2
n 1

arcctg 1 n

3.29. .

2 n2n 1 n

n3 2

3.31.n 1 n2 sin2 n.

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

4.1.n 1 5n 1 n 1.

ln n2 5 .24.3.

n 1				n				4
				1													1
4.5.				1				arctg									1				.
													3
													3
n 2	n 1																n 1
				n		3		2
4.7.				n				2						.
4.7.	n			5	sin2							n		.
n 1	n				sin2
								1
4.9.								1							.
4.9.	n cos								2						.
n 1	n cos										6n
			1
4.11.			1				arctg												.
			3										4
			3
n 1					n													n
						1										1
4.13.						1				sin						1				.
		3
		3
n 2					n 5											n 1

				3
				3	arctg						n2 1
					arctg						n2 1
3.24.												.

							n2 n
		n 1					n2 n
	2cos		2
	2cos
3.26.				3n		.


n 2	4 n4 1
												n
3.28.				arctg 2 1
														.
						ln 1 n								.
		n 1				ln 1 n
				arcsin					3 1 n

										4
3.30.										4			.
3.30.				2				n		n			.
		n 1		2						n


		1								1
4.2.		1				tg				1						.

		n
	n 1	n										n
		1										1
4.4.		1							sin			1			.


	n 1					n							n
		n2 3 2
4.6.																	.
4.6.		n			5			ln			4						.
	n 1	n						ln						n
					n			cosn
4.8.		2						cosn										.
4.8.				n														.
	n 1	3						sinn
							1												1
4.10.							1							sin					1			.
				5
				5				n 1
	n 1							n 1												n
	1
4.12.	1								.
4.12.	2								.
n 1 n	lnn
							1														n		3
4.14							1						arctg								n		3	.
			3																		2
			3				n 2														2
	n 1						n 2														n		5

		1				1
		1				1									n
4.15. n 1									e							1 .

		n 3
												1
4.17. 3			narctg												.

												3
n 1												n

4.19. n3tg5										.
4.19. n3tg5										.
n 3							n


4.21. 1 cos														.
4.21. 1 cos											n			.
n 1											n
						n3 1
				n
				n
4.23. e													1 .
n 2
	sin					2
	sin				2	n		1
4.25.					2	n		1					.


n 1						n

4.27. n e1n 1 2 . n 1

4.29.arctg .

n 1		(n 1)5 n2 1
						n
4.31. arcsin						n				.
4.31. arcsin			n2		3				5 2	.
n 1			n2		3
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.
		n 1
5.1. n 2				.
5.1. n 2	2n n 1 !			.
2n 1 n3 1
5.3.							.
5.3.		n 1 !					.
n 1		n 1 !
2n 2 !					1
5.5.								.
5.5.					2		n	.
n 1		3n 5			2

					n		2	1
4.16. ln					n			1		.
4.16. ln		n		2						.
n 1		n				n 2
				n		3
4.18. ln				n					.
4.18. ln		n		3					.
n 1		n			1
								n 1
4.20.								n 1			.

	3				1 n4 n3 1
n 2	3		n		1 n4 n3 1

3 n

4.22.sin .

n 1					n5 2
					2n 1
4.24. sin					2n 1					.
4.24. sin				n2 n 1					2	.
n 1				n2 n 1
	3 7n
4.26.						.
4.26.	5	n				.
n 1	5		n
							1
4.28. nsin							1	.


n 1					3 n4

4.30.sin .2

n 1

n 3 n 5

	n! 2
5.2.			.
	2n	2
n 1

10n2n!

5.4.n 1 2n ! .

	n 5		2
5.6.		sin		.
			n
n 1	n!		3

	arctg		5
			n
5.7.				.

n 1	n!
	n				1
5.9.		tg				.
					n
n 1	2n ! 5

5.11.n 1 n 2 !.

72n


5.13. n 1			.
	2n 1 !
	1 3 5...(2n 1)
5.15.				.
	n
n 1	3	n 1 !

n! 2

5.17.n 1 3n 1 2n !.

n 1 !.n5.19.

n 1 n

	2	n	n!
5.21.				.
	n		n
n 1
			3n
5.23. n 1					.
	n 2 !4n

1 4 7... 3n 2

5.25.n 1 7 9 11... 2n 5 .

3n 2 !.n 25.27.

n 1		10 n
			3
		n!	3	n
5.29.		n!		n	.
5.29.		n			.
n 1	3		2
	1 4 7... 3n 2
5.31.								.
5.31.				2		n 1	n!	.
n 1				2			n!

5.8.

n 1

6n n2 1

5.10.

n 1

5.12.

n 1

5.14. n 1

3n!

5.16.

. ?

n 1


5.18. n!sin									.
5.18. n!sin					n				.
n 1					2

	5n 3 n2
5.20. n 1							.
5.20. n 1	n 1 !						.
	5	n		n 1 !
5.22.	5			n 1 !							.
5.22.											.
n 1				2n !
	3 5 7... 2n 1
5.24. n 1													.
5.24. n 1	2 5 8... 3n 1												.
				2n!
5.26.				2n!				.


n 1			2n 3
		n 1
	4	n 1			n	2				5
5.28.	4				n					5		.
5.28.												.
n 2				n 1 !
5.30. n! 2n 1 !.

n 1				3n !

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

		1								n					n2
6.1.															.
6.1.				n											.
n 1	3					n 1
					2					1				n2
6.3.				2n						1				.
6.3.				2					1					.
n 1					n				1
				2n 1 n2
6.5.												.
6.5.				3n 2								.
n 1				3n 2
	4n 3 n3
6.7.												.
6.7.				5n 1								.
n 1				5n 1

6.9. narcsinn																			.
6.9. narcsinn																			.
n 1															4n
		n 1 n n
6.11.																				.
6.11.						n								5				n		.
n 1						n								5
		3n 2 n																					2
6.13.																		n				1	.
6.13.						4n 1												n				1	.
n 1						4n 1
							n								2n 1
							n
6.15.													.
6.15.					3n								.
n 1					3n					1
					n 1
6.17.			2						.
6.17.			n						.
n 1				n
						n		3
6.19.						n						.
6.19.			lnn								n	.
n 2			lnn

6.21. n3arctgn																					.
6.21. n3arctgn																					.
n 1																	3n

6.23. 2n 1e n .
n 1
						2n										n2
						2n
6.25.														.
6.25.					4n 3									.
n 1					4n 3

		1										1 n2
6.2.							1										.
6.2.	4				n		1										.
n 1	4											n
				4						2n										n
6.4. n				4						2n
																			.
									3n 5										.
n 1									3n 5
	2n 2 n																					3
6.6.																			n 1			.
6.6.					3n 1														n 1			.
n 1					3n 1
									n									n2


6.8.																	.
6.8.			10n 5														.
n 1			10n 5
		n 2 n2
6.10.														.
6.10.						3n 1								.
n 1						3n 1
		2n 3 n2
6.12.																.
6.12.							n 1									.
n 1							n 1
							n 1									n2
6.14.																.
6.14.						2n 3										.
n 2						2n 3
		2n 1 n 2
6.16.															.
6.16.						3n 1									.
n 1						3n 1

6.18. n2 sinn																				.
6.18. n2 sinn																				.
n 1													2n
									n								n3


6.20.														.
6.20.						3n 1								.
n 1						3n 1
								5			n
6.22.							n			3								.
6.22.			2n 1													n		.
n 1			2n 1
									3n 1											2n
									3n 1
6.24. n																			.
6.24. n								4n 2											.
n 1								4n 2
									n		n 2
6.26.									n												.
6.26.			2n2								1							n 2			.
n 1			2n2								1

						n							2n


6.27. n											.
6.27. n											.
n 1					3n 1
			n 2
6.29.		n 3				.
6.29.			n			.
n 1		5

6.31. n4arctg2n														.
6.31. n4arctg2n														.
n 1									4n
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
				1
7.1. n 2				1									.
7.1. n 2	nln2 3n 1												.
							1
7.3. n 1							1													.
7.3. n 1	2n 3 ln2												2n 1							.
							1
7.5. n 1							1														.
7.5. n 1	3n 4 ln2												5n 2								.
							1
7.7.							1															.
7.7.	n				1 ln2 n														1			.
n 1	n		2		1 ln2 n												3		1
				1
7.9. n 1				1											.
7.9. n 1	2n 1 ln									2n					.
				1
7.11. n 2				1								.
7.11. n 2		3n 1 lnn										.
							1
7.13. n 2							1												.
7.13. n 2		2n 3 ln										3n 1							.
				1
7.15. n 2				1												.
7.15. n 2		n 3 ln2										2n				.
				1
7.17. n 3				1						.
7.17. n 3		nln n 1								.
							1
7.19.							1											.
		n 2

n 5								ln n 3

n 1 n2			1
6.28.						.
6.28.	n	2			n	.
n 1	n	2
		n 2					3n

6.30. 3 n
							.
				2n 1			.
	n 2			2n 1

			1
7.2. n 1			1					.
7.2. n 1		nln2 2n 1						.
				1
7.4. n 3				1										.
7.4. n 3		3n 5 ln2 4n 7												.
			1
7.6.			1								.
7.6.											.
n 1 2n 1 ln2 n					5		2
			1
7.8. n 5			1								.
7.8. n 5		n 2 ln n 3									.
			1
7.10. n 1			1	.
7.10. n 1	n 1 ln 2n			.
			1
7.12. n 2			1									.
7.12. n 2			2n 1 ln n 1									.
			1
7.14. n 2			1						.
7.14. n 2			n 2 ln2 n						.
				1
7.16. n 2				1									.
7.16. n 2			2n 3 ln2 n 1										.
			1
7.18.			1							.


	n 2 2n ln 3n 1
				1
7.20.				1											.
			3n 1

	n 4					ln n 2

1 / 31 2 3 > Следующая >>>