В случае l 1 этот признак не работает – ряд может, как сходиться, так и расходиться, и тогда надо обращаться к другим признакам.
5. Интегральный признак Коши. Пусть функция f x
положительная, монотонно убывающая функция на 1, .
|
|
f x dx сходятся или расхо- |
Тогда ряд f n и интеграл |
|
|
n 1 |
1 |
|
дятся одновременно. |
|
|
Примеры
1. Исходя из определения суммы, установить, сходятся ли следующие ряды
а) 1+3+5+…+(2n-1)+…; б) 1 14 161 641 ....
Решение
а) Члены ряда представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом а1 = 1 и разностью d = 2. По формуле нахождения суммы первых n членов прогрессии находим
Sn |
a1 an n |
1 (2n 1) |
n n2 . |
|
2 |
2 |
|
Найдем lim Sn lim n2 . Следовательно, рядрасходится.
n n
б) Члены ряда представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом а = 1 и знаменателем q 14 . Так как q < 1, то ряд сходится и его сумма
S |
|
|
a |
|
1 |
|
|
4 . |
|
|
q |
|
1 |
||||
|
1 |
1 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
7