Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением

– кубический (третий) инвариант равен определителю матри-

цы, представляющей тензор в текущей системе координат, или произведению главных компонентов тензора

Примеры решения задач

Задача № 2.1. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

Найти компоненты тензора T ' в новой системе координат с бази-

сом ei , полученной поворотом базиса ei наугол 3 вокругорта e1 .

Решение. Для нахождения компонентов тензора в новой системе координат воспользуемся (2.5). Чтобы записать матрицу Якоби, необходимо составить таблицу косинусов, для заполнения которой воспользуемся иллюстрацией (рис. 2.2).

20

Проверка.

1.Симметричность тензора – это свойство физического объекта, поэтому в любой системе координат его должна представлять симметричная матрица.

2.Вычислим линейный инвариант I 1 2 1 1 54 74 4 .

3.Вычислим квадратичный инвариант

22

направлений, если известно, что одна из его главных компонент

i 3

Решение. Для нахождения компонентов тензора в пространстве главных направлений необходимо решить его характеристическое уравнение (2.6). Для того, чтобы записать конкретный вид характеристического уравнения, вычислим инварианты тензора

I 3 5 3 11;

23

Характеристическое уравнение для исследуемого тензора имеет вид

3 11 2 38 42 0 .

Поскольку известен один из корней, это кубическое уравнений можно разложить:

3 11 2 38 42 3 2 8 14 0 .

Два других корня найдем, решив квадратное уравнение:

2 8 14 0 :

Зная три корня характеристического уравнения тензора, можем записать его в пространстве главных направлений (в механике

сплошной среды принято, что 1 2 3 ).

24

Проверка.

1. Симметричность тензора – это свойство физического объекта, поэтому в любой системе координат его должна представлять симметричная матрица.

Контрольные задачи

Задача № 2.1.1. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази-

сом ei , полученнойповоротом базиса ei наугол 6 вокругорта e3 .

Задача №2.1.2. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

25

Задача № 2.1.5. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

26

Задача № 2.1.8. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

27

Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази-

сом ei , полученнойповоротом базиса ei наугол 3 вокругорта e1 .

Задача № 2.1.9. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази-

сом ei , полученнойповоротом базиса ei наугол 3 вокругорта e2 .

Задача № 2.1.10. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ei имеет компоненты

Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази-

сом ei , полученнойповоротом базиса ei наугол 4 вокругорта e2 .

Задача № 2.2.1. Записать тензор T в пространстве главных

направлений, если известно, что одна из его главных компонент

i 3 :

28

Задача № 2.2.2. Записать тензор T в пространстве главных

направлений, если известно, что одна из его главных компонент

i 4 :

Задача № 2.2.3. Записать тензор T в пространстве главных

направлений, если известно, что одна из его главных компонент

i 4 :

Задача № 2.2.4. Записать тензор T в пространстве главных

направлений, если известно, что одна из его главных компонент

i 5 :

Задача № 2.2.5. Записать тензор T в пространстве главных

направлений, если известно, что одна из его главных компонент

i 3 :

29