Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задания и методические указания для типовых расчетов по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>


		0,


7.7.	y tg x,

		x,
		x,

x 0,

0 x				1
			,	7.8. y 9		.
		2	,	7.8. y 9	2 x	.
		2
x	.
	2

7.9. y 43 x .

			x,			x 0,
7.10.
7.10.	y (x 1)2 , 0 x 2,
		x 3, x 2.
		x 3, x 2.
		cos x,				x 0,
		x,			0 x 2,
7.13.	y 1	x,			0 x 2,
		x	2	,	x	2.
		x		,	x	2.

7.11. y	1	.

	1

2 e3 x

3x 1,

7.14. y 2x 1,

		x 4,		x 1,
		2,	1 x 1,
7.12.	y x2
		2x,		x 1.

x 2,	7.15.	y		1	.
x 2.
				log4 x

		x 3,		x 0,
					1				1
	y x 1,		0 x 4,		7.17. y 2		.	7.18. y (1 x)arctg		.
7.16.						x2 5
7.16.						x2 5			x2
		3		x 4.				1
								1
			x,

7.19. y 51 x2 .

7.22. y 2x 5 .

7.25. y 1 x3 . 1 x

7.20. y		1				.	7.21.	y		1	.

		1

		1 e							sin x
					1 x
		1							7 x 3
				.			7.24. y					.
7.23.	y		x2

		e							x2 4

7.26. y 12 ,

x, x 1,

1 x 6 , x, x 6 .

x2 4, x 2,

7.27.y 3x 2, 2 x 2,

12 x2 , x 2.

x2 , x 3,

7.28. y 2x 1, x 3.

7.31. y	10x	. 7.32.
	x3 3

7.29.	y				1	.

		log		2	(x 4)
		log			(x 4)

sin 5x					0,
			, x
			, x
y	3x
	2, x 0.
	2, x 0.

7.30.	y arcctg	1	.

		3 x

З а д а н и е 8

Найти первые производные от функций:

8.1. а)

y arctg 5

ln2 cos

;

8.2. а)

;

x2 (x

1 x2 )

8.3. а)

y ln cos2 arctg

;

2 x

б)

2

(sin x)ln2 x .
	cos	2
(arctg x)	cos	x .
(arctg x)		x .

1 (x e x )sin x .

8.4. а)

ln arctg

;

x arccos

8.5. а)

cos2 ax

;

ln sin2 ax

ln t

8.6. а)

s arcsin

;

8.7. а)

y sin x ln x ;

8.8. а)

y arctg

1 x

;

1 x

8.9. а)

cos x

ln tg

;

2sin2 x

8.10. а)

y tg2

2ln cos

;

8.11.а) y ln tg x3 5 ;

8.12.а) y 5arcsin x2 1 ;

8.13. а)

y ln

a2 x2

arccos

;

a x

8.14. а)

arctg

a x

;

a x

8.15. а)

y ln(ex sin x e x cos x) ;


		1			sin x
		1		x	sin x
б)	y					.
б)	y	x	1			.
		x	1

б) y (tgln x)arcsin x .

y cos

ln sin x .

б)

y e2 x sin(cos2 (tg3 x)) .

б)

y (1 x)cos3 (3x2 ) .

arctg( x 1)

б)

y 2cos2

ln x sin x

б)

y (1 x2 )cos arctg x .

б)

y (1 sec2 x)

x arctg x3 .

sin2 ex

б)

3x 1

ln 3x sin2 ex

б)

1 x2

y arctg(1

)

tg x

б)


			1
			x
			x		x
8.16. а) y arccos(sin2 x cos2 x) ;	б)	y ctg		.
8.16. а) y arccos(sin2 x cos2 x) ;	б)	y ctg		.
			2

8.17.а) y ln2 arccos 1x ;

8.18.а) y arctg2 x 1 x2 ;

8.19. а) y ln ln(ex cos x e x sin x) ;

8.20. а) y arctg tg2 e2 x ;

8.21. а) r arctg1 cos ; sin

8.22. а) y ln cosarctg x ;

8.23. а) f (x)	1	arctg	x 2	;
	2		1 x2

xsin

8.24.а) y arctg1 x cos ;

8.25.а) y ln cos3 arctg e2 x ;

8.26.а) y ln3 tg 1 x ;

8.27. а) y arcsin x tg x ;

8.28.а) y sin x x x2 ;

8.29.а) y arctg(1 x ) x ;


8.30. а)	y ln arctg	1 x	;
8.30. а)	y ln arctg	x3	;
		x3
8.31. а)	y e2 x sin(cos2 (tg3 x)) ;

б)

б) б)

б)

y sin x cos2 x .

y x ln2 x .

y arctg ln(1 ex2 ) .

	l	arctg	x
y			.

x 1

y sin x cos x . y tg 2x x .

f (x) arcsin2 3x x2 .

y (cos2x)ln x .

y 1 x2 tg						.
y 1 x2 tg					x	.
y 1 tg 2x arctg 2 x .
y arcsin2 (tg 2x) .
y	1	ln(tg x sec x)						1	cosec x .
y		ln(tg x sec x)							cosec x .
2								2
y ln(ex sin x e x cos x) .
			y (tg 2x)ctg				x
б)			y (tg 2x)ctg				2 .
ln x cos x
y				.
y				.
			ex

sin

8.32. а) y ln cos2 arctg

;

б)

y (x

e x )

x .

2 x

З а д а н и е 9

Найти yx ,

yxx :

x ln t,

ex sin y e y cos x

9.1. а)

;

б)

9.2.а) ex y xy ;

9.3.а) y x arctg y ;

x ln 1t ,

9.4. а) y t 1;

9.5.а) y2 x ln xy ;

9.6.а) x y 3 yx 0 ;

t ,

9.7. а)

t ;

cos

9.8. а)

x e

y e t sin2 t;

9.9. а)

2xy a2 0 ;

9.10. а)	x2 y2	cos y ;
		2

9.11. а)	x tg		2	t ,

	y sin2			t ;

x a sin2 2 ,

9.12.а) y b cos2 2 ;

x ln2 t,

9.13.а)

y t ln t;

x cost,

б)

y sin4

1 2t

б)

y 254 3t.

б)

x2 9

x ln tg

cost sin t,

б)

y sin t cost.

б)

e t

б) 2x cos y 3y .

б) x4 y4 2xy 0 .

x t

sin 2t,

б)

y cos

x a cos3 t, б) y bsin3 t.

б) 2 y 9 xy3 .

б) 2xy ex y .

б) x2 y (2 y)2 xy .


	x tg	2	t,
9.14. а)
	y 3ctg t;
9.15. а)	xy y x ;

x e2t cos2 t,

9.16. а) y e2t sin2 t;

		x e	t2	,
		x e		,
9.17. а)
9.17. а)	y sin et2 ;
						t
	x arcsin							,
	x arcsin				1 t2			,
					1 t2
9.18. а)						t
						t
	y arccos								;
	y arccos				1 t		2		;
					1 t

9.19.а) 3x2 3 y2 3a2 ;

9.20.а) xy ln y 1;

9.21.а) tg y 2x y ;

9.22.а) xy tg y ;

9.23.а) x3 y3 3xy 1;

9.24. а) x3 y 3 a3 ;

б) (x y)2 (x 3y)3 0 .

			cost
x					,
x	cos 2t				,
б)	cos 2t
б)			sin t
			sin t
y						.
y		cos 2t				.
		cos 2t
б) arctg			y	ln(x2			y2 ) .
б) arctg				ln(x2			y2 ) .
			x

б) ey 2x 5y .

б) y ln x xln y 1.

	x 2ln ctg t 1,
б)		y tg t ctg t.
б)		y tg t ctg t.

				t			2	,
	x 1			t				,
б)
	y tg				1 t .

	x e		2t	,
б)	x e			,
б)					1
	y cos				1	.
	y cos					.
					t

x t3 1,

б)

y t3 1.

x a bsin2 t,

б) y a b cos3 t.

x t 1t ,

б)

y 5t t .

x ln(2t 1),
9.25. а)	y	1	;

		cost

x ln(2t 1),

9.26.а) 1

y ;

cos2 t

9.27.а) xy ex ey 0 ;

9.28.а) arctg xy 12 ln(x2 y2 ) ;

9.29.а) xy 5 sin y ;

б) y	y	2xy 0 .
	x

б) exy cos(x y) y .


		t ,
	x	t ,
б)
б)
	y 3 t .
	x cost t sin t,
б)
б)	y sin t t cost.
		cos		3	t
	x	cos			t	,
	x					,
			cos 2t
б)		sin		3 t
б)		sin		3 t
	y						.
	y						.
			cos 2t

x 5

9.30. а)

ln(x y) ln

ln(xy)

;

б)

y 5t 2t.

x sin e

9.31. а)

x sin y ;

б)

y e2t 1.

x tg

9.32. а) arctg y 4x 5y ;

б)

y 3ctg t.

З а д а н и е 10

Исследовать функцию и построить ее график.

10.1.y x 1 2 .

x 1

10.4.	y	2			.

		1 x2
		5		2
10.7. y 2x			3	5x		3	1.

10.3. y ln(2x2 3) .

10.2. y 33 x2 2x .

10.5. y 3

10.6. y x2e

x 1

10.8. y (1 x2 )3 .

10.9. y lg

1 x2

10.10. y		cos 2x					.			10.11. y				x2 2					.							10.12.				y		2			.
10.10. y							.			10.11. y									.							10.12.				y	x2 5x				.
		cos x												x2 1																	x2 5x			6
10.13. y lg x2 3x 2 . 10.14. y x6 3x4																						3x2				5 .				10.15. y e x				x2 .
		2x 1														x4
10.16.	y	2x 1						.		10.17. y						x4		.				10.18. y 3							(x 1)2			3 x2		1.
10.16.	y							.		10.17. y				x3			1	.				10.18. y 3							(x 1)2			3 x2		1.
		(x 1)2												x3			1
															1
10.19. y3 6x2 x3 .										10.20. y e											.					10.21. y x 2arctg x .
10.19. y3 6x2 x3 .										10.20. y e					x2 4 x 1						.					10.21. y x 2arctg x .
		x3		2x2 7x 3																		x4															1
10.22.	y	x3		2x2 7x 3							.	10.23. y										x4		.						10.24. y (x 2)e x .
10.22.	y						2x2				.	10.23. y								1 x3				.						10.24. y (x 2)e x .
																																		2
	y				x																											y	x 1			.
10.25.					x					. 10.26.		y	3		(x			2)				2	3		(x		1)	2	. 10.27.				x 1
10.25.		(1		x)(1 x2 )						. 10.26.			3									2	3					2	. 10.27.				2
		(1		x)(1 x2 )																													x	4
	y ln x														x															x4 y2 (x2 1)3
															1
10.28.					.					10.29. y				e			x .									10.30.									.

			x
10.31. y arcsin								2x		10.32. y x ln(x 1) .
									.
						1 x2			.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

З а д а н и е 1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

П р и м е р 1. 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

x1 2x2 x3 2,2x1 x2 x3 3,x1 3x2 x3 5.

Решение. Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:

1
1		2	1	2

A	2	1	1	3	.
	1	3	1	5
	1	3	1	5

Умножая первую строку матрицы А поочередно на 2, 1 и прибавляя соответственно ко второй и третьей, получаем матрицу

	1		2	1	2

A1		0				.
			3	1	1
		0	1	0	3

Поменяем в матрице A1 местами вторую и третью строки. Затем умножим полученную вторую строку на 3 и прибавим к последней строке. Получим матрицу

			1		2	1		2
			1		2	1		2
	A2
	A2			0	1	0		3	.
				0	0	1		8
				0	0	1		8
Матрице A2 соответствует система уравнений
	x 2x x 2,
			1		2	3
					x2 3,
				x3 8.
				x3 8.
Отсюда получаем x 8,	x		3,		x 4 . Ответ:					X (4 3	8)T .
3	2				1
П р и м е р 1. 2. Решить методом Гаусса систему уравнений
	x1 x2 x3 x4 1,
		x2 2x3 2x4 2,
3x1		x2 2x3 2x4 2,
					3x3 6x4 7,
2x1 4x2					3x3 6x4 7,
7x 5x 6x 6x 6.
	1			2	3		4

Решение. Составив матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, умножая первую строку матрицы А поочередно на 3, 2, 7 и прибавляя соответственно ко второй, третьей и четвертой строке, получим:

1		1	1	1	1	1 1 1				1	1
1		1	1	1	1	1 1 1				1	1
				2				2	1			( 3) ( 1)
	3	1	2	2	2		0	2	1	1	1	( 3) ( 1)
	2	4	3	6	7		0	6	5	8	5

	7	5	6	6	6		0	2	1	1
	7	5	6	6	6		0	2	1	1	1

1		1	1	1	1	1				1	1
1		1	1	1	1
	0	2	1	1	1			1	1
	0	2	1	1	1
	0	0	2	5	8		0	2	1	1	1 .
	0	0	2	5	8				2		8
							0	0	2	5	8
	0	0	0	0	0

Полученная матрица равносильна системе уравнений

x		x	x	x 1,
	1	2	3	4
2x2 x3 x4 1,
		2x3 5x4 8.
		2x3 5x4 8.

	Система имеет три уравнения и четыре неизвестных. Выбирая, например,
x4	в качестве					свободной							неизвестной					и полагая x4 C , находим
x	5	C 4,	x		5			3		C,	x	5			3	C

3	2		2	2			4				1	2			4 .

				5			3				5	3			5			T
	Ответ:		X						C					C			C 4	C , где C R .

				3			4				2	4			2

За д а н и е 2. Векторы. Прямая и плоскость в пространстве

Пр и м е р. Даны координаты вершин треугольной пирамиды A1 A2 A3 A4 :


A1(2; 0; 1) , A2 (0; 1; 2) , A3 (2; 3; 8) ,			A4 (1; 0; 3) . Найти:

1) проекцию вектора A1 A2 на вектор A3 A4 .
		( 2; 1;	3) ,		( 1;	3;	5) .
Находим векторы	A1 A2			A3 A4

Скалярное произведение этих векторов:

A1 A2 A3 A4 ( 2) ( 1) 1 ( 3) ( 3) ( 5) 2 3 15 14 .

Длина вектора A3 A4 :

A3 A4 ( 1)2 ( 3)2 ( 5)2 1 9 25 35 .

Проекцию A1 A2 на A3 A4 находим по формуле

A1 A2

A3 A4

Пр

A1 A2

A3 A4

2)			площадь грани A1 A2 A3 . Так как									A1 A2		( 2 ;1; 3) ,				A1 A3	(0; 3; 7) , то

								i		j	k			1	3		2	3		2 1
				1			1	i		j	k		1

S	A A A					A A A A		2	1		3					i			j			k


				2	1 2 1 3		2	0	3		7		2	3	7		0	7		0	3
	1	2	3	2			2	0	3		7		2	3	7		0	7		0	3

12 16i 14 j 6k 8i 7 j 3k 64 49 9 122 .

3)объем пирамиды:

						1								1	2	1		3			14
															2	1		3
			V																			.
								A1 A2 A1 A3 A1 A4							0 3			7
					6			A1 A2 A1 A3 A1 A4						6	0 3			7			3
					6									6	1	0		2			3
4)		расстояние от					вершины				A1	до		плоскости,						в	которой лежит грань
A2 A3 A4 . Уравнение плоскости A2 A3 A4
	x	y 1	z 2		2			10	x	2	10		( y 1)				2	2	(z 2)


	2	2	10
	1	1	5	1 5						1	5						1	1
	1	1	5

20x 0 ( y 1) 4(z 2) 20x 4z 8 0 или A2 A3 A4 : 5x z 2 0.

Расстояние от точки A1 до плоскости A2 A3 A4

d ( A1; A2 A3 A4 )				5 2 1 2									7
				5 2 1 2									7

			2				0	2				2	26
			2					2				2	26
			5							( 1)				.
														.
5) расстояние от вершины A1						до			прямой				A2 A3 есть				высота A1H
треугольника A1 A2 A3 , т. е.
	2SA A A
d ( A1; A2 A3 ) A1H	2SA A A						2		122				2 122		2	61
	1 2 3																	.

		A2 A3			22 22						102		108			54
		A2 A3			22 22						102		108			54

							A1

A2	H	A3

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]