2. Решение задачи

2.1. Решение частного случая задачи о назначении

Поскольку каждый из основателей фирмы претендует только на одну из управленческих должностей, поставленную задачу можно решить с использованием венгерского алгоритма. Необходимо, чтобы суммарная заработная плата всех работников достигла минимума.

Исходная матрица имеет следующий вид:

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	200	70	140	80	50	170	100
X2	70	160	210	60	80	100	180
X3	140	50	110	190	90	130	70
X4	180	90	160	140	150	40	80
X5	100	110	80	40	70	160	150
X6	200	190	150	140	100	80	50
X7	120	60	90	80	110	150	170

Проведем редукцию матрицы по столбцам. Для этого выделяем наименьший элемент в каждом столбце матрицы.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	200	70	140	80	50	170	100
X2	70	160	210	60	80	100	180
X3	140	50	110	190	90	130	70
X4	180	90	160	140	150	40	80
X5	100	110	80	40	70	160	150
X6	200	190	150	140	100	80	50
X7	120	60	90	80	110	150	170

Далее из каждого элемента столбца 𝑌𝑗 вычитаем наименьший элемент этого столбца, в результате чего образуется следующая матрица:

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	130	20	60	40	0	130	50
X2	0	110	130	20	30	60	130
X3	70	0	30	150	40	90	20
X4	110	40	80	100	100	0	30
X5	30	60	0	0	20	120	100
X6	130	140	70	100	50	40	0
X7	50	10	10	40	60	110	120

Аналогичную операцию проводим со строками матрицы. Выделяем наименьший элемент каждой строки.

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	130	20	60	40	0	130	50
X2	0	110	130	20	30	60	130
X3	70	0	30	150	40	90	20
X4	110	40	80	100	100	0	30
X5	30	60	0	0	20	120	100
X6	130	140	70	100	50	40	0
X7	50	10	10	40	60	110	120

Далее из каждого элемента сроки 𝑋𝑖 вычитаем наименьший элемент этой строки, в результате чего образуется полностью редуцированная матрица:

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	130	20	60	40	0	130	50
X2	0	110	130	20	30	60	130
X3	70	0	30	150	40	90	20
X4	110	40	80	100	100	0	30
X5	30	60	0	0	20	120	100
X6	130	140	70	100	50	40	0
X7	40	0	0	30	50	100	110

Затем проводим поиск максимального паросочетания. Ищем значение с нулевым значением для полученной редуцированной матрицы.

• Выбираем строку с одним расположенным в ней нулем (строка 𝑋1), выделяем нуль. Он расположен в столбце 𝑌5 – больше нулей в этом столбце нет.

• Далее выделяем нуль, расположенный в строке 𝑋2, поскольку он также является единственным нулем, расположенным в данной строке. Нуль стоит в столбце 𝑌1, причем в этом столбце он является единственным.

• В третьей строке единственный нуль расположен в столбце 𝑌2 – выделяем данный элемент, при этом учитываем, что в столбце 𝑌2 расположен еще один нуль, в строке 𝑋7.

• В строке 𝑋4 выделяем единственный расположенный в ней нуль – в столбце 𝑌6 (для этого столбца нуль также является единственным).

• Выбираем последнюю строчку, в которой расположен один нуль (строчку 𝑋6) и выделяем нулевое значение в столбце 𝑌7.

• В седьмой строке находятся два нулевых элемента – в столбцах 𝑌2 и 𝑌3. При этом в столбце 𝑌2 уже есть выделенный нуль, расположенный в третьей строке.

По этой причине выделяем нуль, расположенный в седьмой строке, третьем столбце.

• В пятой строке также находятся два нулевых значения – в столбцах 𝑌3 и 𝑌4.

Однако в третьем столбце, в седьмой строке уже имеется выделенный нуль, поэтому отмечаем элемент (𝑋5; 𝑌4).

• Оставшиеся невыделенными нули зачеркиваем и получаем следующую матрицу:

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
X1	130	20	60	40	0	130	50
X2	0	110	130	20	30	60	130
X3	70	0	30	150	40	90	20
X4	110	40	80	100	100	0	30
X5	30	60	0	0	20	120	100
X6	130	140	70	100	50	40	0
X7	40	0	0	30	50	100	110

Исходя из этого, управленческие должности будут распределяться следующим образом:

• Аркадий Волож (X1) – Директор по информационным технологиям (Y5);

• Илья Сегалович (X2) – Финансовый директор (Y1);

• Александр Чачава (X3) – Коммерческий директор (Y2);

• Павел Прасс (X4) – Руководитель организационного отдела (Y6);

• Александр Рязанов (X5) – HR-директор (Y4);

• Юрий Апресян (X6) – Технический директор (Y7);

• Михаил Маслов (X7) – Директор по маркетингу (Y3).

Суммарные затраты на оплату труда управленческого персонала в таком случае минимальны и равны 390 тыс. руб. в месяц (𝐶𝑚𝑖𝑛 = 50 + 70 + 50 + 40 + 40 + 50 + 90 = 390 тыс. руб.).