физ / Кондрашев7
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики
ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Учебно-методическое пособие к лабораторным работам № 8-2, 8-2′
Уфа 2008
Методическое пособие содержит основы теории электромагнитных колебаний, описание лабораторных работ по изучению вынужденных колебаний и резонанса в электрических цепях.
Предназначено для студентов всех специальностей.
Составитель: Кондрашев О.Ф., профессор, докт. техн. наук Рецензент: Лейберт Б.М., доцент, канд. техн. наук
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2008.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8-2
ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Цель работы: измерение и анализ параметров вынужденных колебаний при резонансе в электрическом контуре.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Этот вид колебаний возникает в контуре, состоящем из последовательно со-
единенных емкости С, индуктивности L, |
активного сопротивления |
R и источни- |
|
|
||||||||||
ка переменной электродвижущей силы ε |
(рис. 1), изменяю- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
щейся в данном случае по гармоническому закону: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||||||
ε =ε0 cosωt. |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ток, циркулирующий в колебательном контуре, можно ~ |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
считать квазистационарным, т.е. имеющим в данный момент |
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
времени одинаковое значение во всех элементах контура. Это |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеет место в рассматриваемом случае, поскольку за время |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прохождения электромагнитным полем расстояния, сопостави- |
|
Рис. 1 |
|
|
||||||||||
мого с линейными размерами контура, ток, вызываемый этим |
|
|
|
|||||||||||
полем, действительно изменяется несущественно. По этой причине законы постоянного тока можно применять при анализе цепей переменного тока, используя при этом мгновенные значения последнего.
Исходя из того, для мгновенных значений квазистационарных токов закон
Ома для данного контура имеет вид: |
|
|||||||
|
|
|
|
i = |
U +ε +εS |
. |
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
i = −dq |
|
|
|
|
R |
|
|
Здесь |
= − |
C dU |
dt |
- ток при разряде конденсатора; |
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
εS = −L di dt = −LC d 2U dt 2 − электродвижущая сила самоиндукции в катушке L;
U= q C − напряжение на конденсаторе.
Сучетом последнего получим дифференциальное уравнение колебаний:
LC d 2U + RC dU |
+U =ε0 cosωt. |
|
|||||
dt2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
Поделив уравнение на LC и вводя обозначения |
|
|
|||||
β = |
R |
|
и |
ω02 = |
1 |
, |
|
2L |
LC |
||||||
|
|
|
|
||||
приведем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний к виду
d 2U |
|
|
dU |
2 |
2 |
|
|
|
+ 2 |
β |
|
+ω |
U =ε ω |
0 |
cosωt. |
|
|
||||||
dt2 |
|
|
dt |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь β - коэффициент затухания, а ω0 – собственная частота колебаний.
(3)
(4)
(5)
2
Случай установившихся колебаний в контуре (t >> τ = 1/β) описывается частным решением данного уравнения:
U =U0 cos (ωt +ϕ),
где
|
U0 = |
|
ε ω2 |
|
= |
|
|
ε ω2LC2 |
|
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
, |
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
||||
|
|
4β2ω2 +(ω02 −ω2 )2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω R + ω L − |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω C |
|
|
а начальная фаза |
ϕ и частота вынужденных колебаний соответственно определяет- |
|||||||||||||
ся выражениями: |
|
|
|
22 |
βω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = |
ω |
2 , |
|
ω = |
|
ω02 − 2β2 . |
|
(7) |
||||
|
|
|
0 |
− β |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда вынужденных колебаний |
(6) |
достигает максимального значения |
||||||||||||
при частоте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωP = |
ω02 |
− 2β2 ≤ω0. |
|
|
|
(8) |
|||||
При этом напряжения на емкости и индуктив- |
|
|
|
|
|
|||||||||
ности становятся равными по величине и противопо- |
UL |
|
|
|
|
|||||||||
ложными по фазе, поэтому их векторная сумма равна |
|
|
|
|
|
|||||||||
нулю (рис. 2). В этот момент полное сопротивление |
|
|
|
|
|
|||||||||
контура становится чисто активным, напряжение на |
UC |
|
UR= ε 0 |
|
||||||||||
нем становится равным внешней ЭДС, а ток в цепи |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
соответственно возрастает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pис. 2 |
|
|
|
Эта частота называется резонансной, |
а |
U |
|
|
|
|
||||||||
само явление возрастания амплитуды по мере |
|
|
|
|
|
|||||||||
Uр2 |
|
|
|
|
R1 > R2 |
|
||||||||
приближения к резонансной частоте – резо- |
|
|
|
|
|
|||||||||
нансом (рис. 3). |
Форма резонансной кри- |
|
|
|
|
|
R2 |
|
||||||
вой зависит от параметров колебательного |
Up1 |
|
|
|
|
|
||||||||
контура - R, L и |
С. Вне зависимости от ве- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
личины последних при уменьшении частоты |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|||||||
колебаний все кривые сходятся в одной точке, |
ε0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
отвечающей величине внешней ЭДС - ε0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из выражения для резонансной частоты |
|
|
|
|
ωр1 ωр2 |
ω |
||||||||
(8) следует, что при увеличении R |
и С |
кри- |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вые сдвигаются в область низких частот. Об- |
Рис. 3 |
|
ратный эффект вызывает увеличение индук- |
||
|
тивности контура. Изменяется при этом и амплитуда резонансного напряжения. Количественной характеристикой формы резонансной кривой является добротность
(Q), определяемая отношением потери энергии ( |
W) за период к исходной энергии |
|||
колебаний (W) в контуре: |
W |
|
|
|
Q = 2π |
. |
(9) |
||
|
||||
|
W |
|
||
3
Добротность показывает во сколько раз напряжение на емкости (индуктивности) превышает величину внешней ЭДС и функционально связана с характеристиками колебательного контура:
|
|
|
|
|
|
|
Q = UP |
= 1 |
L |
= |
ω0 . |
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
R |
C |
|
2β |
|
|
|
|
|
|
Практически добротность рассчитыва- |
|
U |
|
|
|
|
|
||||||
ется по полуширине резонансной кривой |
|
|
UP |
|
|
d |
|
|
|||||||
( |
ω = 2π ν ), отсчитываемой на уровне |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
от амплитудного значения напряжения |
U P |
|
c |
|
e |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δω |
|
|||||
(рис. 3): |
ωP |
|
|
vP . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
Q = |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v2 |
(11) |
|
|
|
b |
|
|
f |
|
||||
|
|
|
ω2 −ω1 |
|
−v1 |
|
|
|
a |
|
|
kω |
|||
|
|
Видно, что с увеличением добротности |
|
|
ω1 ωP ω2 |
||||||||||
контура полоса усиливаемых при резонансе |
|
|
|
|
|||||||||||
частот (Δω) сужается. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|||||
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА
Принципиальная электрическая схема и блок-схема установки приведены на рис. 4 и 5.
L |
CM |
RM |
|
5 |
МС |
6 |
|
|
|
ФПЭ |
|
МЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ε |
|
ЗГ |
|
|
ЭО |
|
Рис. 4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
Рис. 5 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Здесь RM, и CM – переменные значения параметров колебательного контура, устанавливаемые с помощью магазинов сопротивления (МС, рис.5, позиция 5) и емкостей (МЕ, рис.5, позиция 6) в соответствие с табл. 1.
Таблица 1
Диапазон изменения параметров контура
RM, Ом |
1…100 |
СМ, мкФ |
(1…10)·10-1 |
Вынужденные колебания в контуре, размещенном в блоке ФПЭ (4) создаются генератором звуковых колебаний (ЗГ, позиция 3), напряжение на емкости измеряется с помощью осциллографа (ЭО, позиция 1), панель управления которого приве-
4
дена на рис.6.
1 |
|
|
|
|
|
17 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|
|
|
15 |
5 |
|
|
|
|
|
14 |
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
Рис.6.
1, 2, 3, 4 – ручки регулировки яркости, фокусировки луча и освещения шкалы; 5 – выключатель; 6, 11 – вход каналов А и В; 7, 10 – ручки смещения луча по вертикали для каналов А и В; 9- переключатель каналов; 8, 10 – регуляторы усиления сигнала каналов; 13, 14– переключатели режима и источника синхронизации; 15– регулятор уровня напряжения синхронизации; 16 – ручка смещения луча по горизонтали; 17 – регулятор частоты синхронизации.
ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ
При выполнении лабораторной работы соблюдать меры предосторожности при работе с электроприборами.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подготовьте лабораторную установку к измерениям, установив для этого переключатели и кнопки приборов в следующие позиции *.
1.1.Электронный осциллограф (рис.6):
• кнопка СЕТЬ (5) |
в отжатое положение; |
•ручки управления лучом (1- 4) 
среднее положение;
•переключатель ОДНОКР/ЖДУЩ/АВТ (13) 
АВТ;
•переключатель ВНУТР/ВНЕШН/СЕТЬ (14) 
ВНУТР;
•переключатель СИНХР/РЕЖИМ (9) 
А.
1.2.Магазин емкостей:
•кнопками (рис. 5, позиция 6) установите произвольное значение емкости в данном диапазоне (см. табл. 1).
1.3.Магазин сопротивлений:
•кнопками (5) установите первое значение сопротивления
R1=1 Ом.
*Примечание: для упрощения процесса подготовки приборов к работе необходимые позиции ручек управлении и рекомендуемые диапазоны частот отмечены красными метками
5
2. Определите шаг измерения – интервал частот между двумя ближайшими измерениями.
Для этого, установив ручку регулятора выходного напряжения ЗГ (2) в среднее положение и изменяя частоту, найдите ее резонансное значение по максимуму напряжения.
Величина резонансной частоты определяет исследуемый диапазон частот (см. рис.3, a-k) и шаг измерения: в областях далеких от резонанса (a- b, f-k) измерения можно проводить с интервалом в несколько сотен герц, вблизи резонанса (c-d-e) – через каждое значение шкалы генератора.
При измерениях удобнее фиксировать на экране ЭО не амплитуду синусоидального напряжения, а его размах (рис. 7, позиция H) в делениях сетки экрана, который далее с учетом амплитудного коэффициента (KU) пересчитывается в амплитуду:
Um = KU H . |
(12) |
2 |
|
Um |
|
Н |
|
Рис. 7 |
|
Важно подчеркнуть, что при измерениях в этом случае нет необходимости на каждой частоте «останавливать» осциллограмму и добиваться устойчивого изображения синусоиды с помощью подбора соответствующей частоты развертывающего напряжения ЭО. Размах сигнала можно измерять по «бегущей» осциллограмме, которая на экране прибора выглядит в виде ярко зеленой полосы.
|
Проведите не менее 20-ти измерений частоты и напряжения в кон- |
туре |
с переменным шагом при первом значении сопротивления R1=1 |
Ом.
Размах сигнала, измеряемый в делениях сетки экрана, при каждой частоте должен быть максимально возможным (во весь экран), что обеспечивается с помощью регулятора усиления ЭО (см. рис. 6, позиция 8, 10), со шкалы которого снимаются значения амплитудного коэффициента (KU). Данные занесите в таблицу 1.
3.Снимите данные для построения резонансной кривой контура U = f(ν)
6
при другом значении сопротивления R2= 100 Ом.
Опытные данные занесите во вторую половину табл.1.
4.Выключите лабораторную установку, приборы приведите в исходное положение.
Таблица 1
Таблица экспериментальных данных
Параметры колебательного контура
|
RM = 1 Ом, С = ... , Ф |
|
RM = 100, Ом, |
С = . . ., Ф |
||||
Частота, Гц |
|
Размах сигнала, дел |
Амплитудный коэф., В/дел |
Амплитуда сигнала, В |
Частота, Гц |
Размах сигнала, дел |
Амплитудный коэф, В/дел |
Амплитуда сигнала, В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.Постройте резонансные кривые по данным табл. 2 в одном масштабе.
2.Определите из графиков экспериментальные значения резонансной частоты (ωРЭ) и занесите в таблицу 3.
3.Рассчитайте по формуле (8) теоретическое значение этой частоты (ωРТ), занесите в таблицу 3.
4.Определите из графиков полуширину резонансных кривых (Δω, Δν) и по формуле (11) вычислите экспериментальное значение добротности конту-
ра (QЭ).
5.По формуле (10) для данных параметров колебательного контура рассчитайте теоретическое значение добротности (QT).
6.Вычислите по выражению (10) величину коэффициента затухания контура
(β).
7.Оцените величину относительного отклонения значений теоретически и экспериментально найденных частот:
σω = |
ωРТ −ωРЭ |
.100%. |
(12) |
|
|||
|
ωРТ |
|
|
8.Проведите аналогичные вычисления (σQ ) для добротности контура. Рассчитанные параметры занесите в таблицу 3.
* При измерении напряжения необходимо выбирать диапазон измерения многопредельного прибора с максимальной чувствительностью, в котором стрелка должна отклоняться на второй половине шкалы.
|
|
|
|
|
7 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
Расчетные данные |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωРТ, Гц |
ωРЭ, Гц |
σω ,% |
|
QT |
QЭ |
σQ ,% |
β, с-1 |
Примечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RM1 = 1 Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RM2 = …Ом |
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.При каких условиях возникает резонанс напряжений в колебательном контуре?
2.Каков физический смысл коэффициента затухания, добротности?
3.Чем определяется частота собственных и вынужденных колебаний?
4.Что определяет полуширина резонансной кривой?
5.Что характеризует частное решение дифференциального уравнения колебаний?
6.Как изменится форма резонансной кривой и ее положение на оси частот при уменьшении емкости, индуктивности?
8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8-2′
ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Цель работы: измерение и анализ параметров вынужденных колебаний при резонансе в электрическом контуре.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Лабораторные работы, приведенные в данном методическом пособии, имеют одинаковую теоретическую часть (см. стр. 1 - 5), поскольку они отличаются лишь характеристиками электрического контура и измерительных приборов.
В соответствие с этим, ниже приводится только описание техники измерений параметров колебательного контура.
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА
Принципиальная электрическая схема и блок-схема установки приведены на рис. 1 и 2.
3 |
ЗГ |
|
5 |
|
V |
LM CM RM |
|
МИ |
МЕ 6 |
||
8 |
|
МС |
|
||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
~ε |
7 |
4 |
|
1 |
2 |
Рис. 2 |
|
||||
Рис. 1 |
|
|
|
|
Здесь LM, RM и CM – переменные значения параметров колебательного контура (рис.1), устанавливаемые с помощью магазинов индуктивности (МИ, рис.2, позиция 4), сопротивления (МС, 5) и емкостей (МЕ, 6) в соответствие с табл. 1. Вынужденные колебания в контуре создаются генератором звуковых колебаний (ЗГ, 3), напряжение на емкости измеряется многопредельным вольтметром (V, 1).
Таблица 1
Диапазон изменения параметров контура
RM, Ом |
1…100 |
СМ, мкФ |
(1…10)·10-1 |
LM, мГн |
0,1…10 |
ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ
При выполнении лабораторной работы соблюдать меры предосторожности при работе с электроприборами.