физ / мех колебания 5-
.pdf1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе по механике
5-2
Уфа 2010
2
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения. Содержит краткие сведения по теории механических колебаний и описание лабораторной работы.
Составители: Шестакова Р.Г., доц., канд.хим.наук Лейберт Б.М., доц., канд.техн.наук
Рецензент |
Пестряев Е.М., доц., канд.физ.-мат.наук |
Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5-2
«Определение ускорения свободного падения с помощью математического и оборотного маятников».
Цель работы: изучение методов измерения ускорения свободного падения. Приборы и принадлежности: универсальный маятник ГРМ-04.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела
(рис. 1).
Если маятник отклонен от положения равновесия на малый угол, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы можно записать как
|
|
|
M I I F l, |
(1) |
|
|
|
|
где |
I – момент |
инерции |
маятника |
относительно |
оси, |
проходящей через точку подвеса О; l – расстояние между ней и центром
масс маятника;
F = – mg sin – mg – возвращающая сила при условии 6 . Уравнение (1) можно переписать в виде
|
|
mgl |
|
|||||
I mgl 0; |
|
|
0. |
(2) |
||||
|
||||||||
Принимая |
|
|
|
I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
mgl |
, |
|
|
(3) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
I |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
получим 02 0, решением которого является |
|
|||||||
0 cos 0 t . |
(4) |
|||||||
Из выражения (4) следует, |
что при малых колебаниях физический |
|||||||
маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой |
0 и |
|||||||
периодом |
|
|
|
|
|
|
||
4
|
|
T |
2 |
2 |
I |
2 |
L |
, |
(5) |
|
|
|
mgl |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
g |
|
||||
где |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
приведенная длина физического маятника. |
(6) |
||||||||
|
||||||||||
|
m l |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения ускорения свободного падения применим свойство сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство заключается в том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период колебаний остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет приведенную длину данного маятника. Согласно (5):
|
|
I |
0 |
ml |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0 |
ml |
2 |
|
|
||
|
T1 2 |
|
|
|
|
1 |
, T2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
. |
(7) |
|||||||||
|
|
mg l1 |
|
|
|
|
mg l2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь I0 |
момент инерции маятника относительно оси, проходящей через |
||||||||||||||||||||||||
его центр масс, l1 и l2 расстояние от центра масс до призм 1 и 2. |
|||||||||||||||||||||||||
После преобразований |
T2g l |
|
|
T2gl |
2 |
|
4 2 l2 l2 , |
получим |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
g |
|
4 2 l12 l2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
T |
2 |
l T |
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если Т = Т = Т, учитывая, что |
|
|
L l |
|
l |
2 |
, |
|
получаем формулу: |
||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g |
|
4 2L |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массы m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника
I ml2 , |
(9) |
где l – длина маятника. Так как математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив (9) в (5), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника:
T 2 |
l |
. |
(10) |
|
|||
|
g |
|
|
5
Сравнивая (8) и (10), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
С помощью математического маятника можно определить ускорение свободного падения. Для этого надо рассчитать периоды Т1 и Т2, соответствующие длинам l1 и l2 и провести несложные математические преобразования:
|
T 2 |
T |
2 |
|
4 2 |
l |
1 |
l |
2 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
g |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда: |
g |
|
4 2 |
|
|
l1 l2 |
. |
(11) |
||||||
|
T 2 |
T |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
6
Оборотные маятники имеют самую различную форму. Они обычно состоят из металлического стержня длиной до 1 м, на поверхности которого нанесены деления через 10 мм для определения приведенной длины маятника. По стержню могут перемещаться и закрепляться в том или ином положении опорные призмы 1 и 2, неподвижный груз 3 и подвижный груз 4.
Различные комбинации грузов и их положений на стержне с опорными призмами дают различные типы оборотных маятников. На универсальной установке ГРМ-04 оборотный 5 и математический 6 маятники укреплены на верхнем кронштейне 7 (рис. 2). Длина математического маятника регулируется с помощью шкива 8. Для того чтобы проделать измерения с математическим маятником, нужно верхний кронштейн повернуть на 1800 с помощью воротка 9.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
УПРАЖНЕНИЕ № 1
Определение ускорения силы тяжести математическим маятником.
1.Поворачивая верхний кронштейн, вывести на передний план математический маятник.
2.По шкале вертикальной стойки определить длину математического маятника l1.
3.Отвести маятник на угол 4-5 от положения равновесия и отпустить его, предоставив ему возможность свободно колебаться.
4.Определить с помощью секундомера время 10 колебаний.
5.Повторить пункты 3-4 еще два раза и среднеарифметическое значение времени десяти колебаний занести в табл. 1.
6.Определить среднее значение периода колебаний маятника по формуле:
T1 t1
N
7.По шкале вертикальной стойки определить длину математического маятника l2.
8.Повторить эксперимент согласно пунктам 3-5.
9.Определить среднее значение периода колебаний маятника по формуле:
T2 t 2 N
10. Вычислить ускорение свободного падения по формуле:
7
g |
|
4 2 |
|
l |
l |
|
|
|
T |
2 T |
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
2 |
|
. |
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
11.Рассчитать абсолютную и относительную ошибки измерения. Данные
|
занести в табл. 1. |
|
|
|
g) м/с2. |
|
|
||||
12.Результаты измерений представить в виде (g |
Таблица 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 l1 |
|
l2 l2 |
|
g, |
g, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м/с2 |
м/с2 |
|
N |
|
t1, c |
T1, c |
T1, |
N |
t2, c |
T2, c |
T2, c |
|||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Ср. |
|
|
|
|
Ср. |
|
|
|
|
|
|
зн. |
|
|
|
|
зн. |
|
|
|
|
|
|
УПРАЖНЕНИЕ № 2
Определение ускорения силы тяжести оборотным маятником.
1.Подвесить оборотный маятник на призматической опоре 1.
2.Регулируя длину нити математического маятника, установить центр шарика примерно на одной высоте напротив нижней призмы 2.
3.Отклонив одновременно математический и оборотный маятник от положения равновесия на угол примерно 4-5 градусов, предоставить им совершать свободные гармонические колебания. Перемещая груз 4 вдоль стержня, добиться того, чтобы в течение десяти полных колебаний оба маятника колебались в одинаковой фазе, что соответствует приблизительному равенству периодов. После этого грубую настройку оборотного маятника можно считать законченной.
4.Для точной настройки оборотного маятника необходимо сравнить времена t1 и t2 десяти колебаний, совершенных на призмах 1 и 2. Устанавливая маятник последовательно на призмы 1 и 2 и перемещая
груз 4 в небольших пределах, добиться того, чтобы разница (t1 t2) времени 10 колебаний, показываемое секундомером, не превышало одной секунды. Следует учесть, что положение груза 4 влияет как на величину t1, так и t2. Таким образом, после каждого перемещения груза, необходимо заново измерять t1 и t2. Окончательную величину t1 = t2 = t занести в таблицу 2.
5.Измерить расстояние L между призмами 1 и 2.
6. Определить среднее значение периода колебаний |
оборотного |
маятника: |
|
8
t T N .
7. Вычислить ускорение свободного падения g по формуле:
4 2L g T2 .
8.Рассчитать абсолютную и относительную ошибки измерения. Данные занести в табл. 2.
9.Результаты измерений представить в виде (g g) м/с2.
Таблица 2
t, c |
L, м |
T, c |
g, м/с2 |
g, м/с2 |
|
|
|
|
|
ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Соблюдать правила по технике безопасности, общие в данной лаборатории.
2. Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать ее только на горизонтальной поверхности.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что называется гармоническими колебаниями? Дать определение смещения, амплитуды, периода, циклической и угловой частоты, начальной фазы колебаний.
2.Что называется физическим маятником? Каково уравнение его движения?
3.Что называется математическим маятником? Вывести уравнение его движения.
4.Чему равны периоды физического и математического маятника? Что называется приведенной длиной физического маятника?
5.Как зависит ускорение свободного падения от географической широты?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1994.-Т.1. – С. 255-261.
2.Савельев И.В. Курс физики. – М.: Наука, 1982 – Т.1. – С. 190-197.