физика лекц / Лекция 2

Лекция 2.

ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. ЦЕНТР МАСС.

2.1. Законы Ньютона. Импульс.

Из опытов известно, что всякое тело оказывает сопротивление попыткам изменить его состояние (привести в движение, остановить, изменить направление движения). Такое свойство тела называют инертностью или инерцией. Количественной характеристикой инерции тела является масса тела.

Первый закон Ньютона: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Первый закон Ньютона называют законом инерции, а движение тела без воздействия внешних сил – движением по инерции.

Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.

(2.1)

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения ускорения, силы и массы.

Если все физические величины измеряют в единицах одной системы, то =1 и (2.1')

или в векторной форме . (2.1'')

Второй закон сам Ньютон записывал несколько в иной форме, через понятие импульса. Векторная величина

(2.2)

называется импульсом. Записав, что , можно получить второй закон Ньютона в следующем виде: (2.3)

Из (2.3) следует, что скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми действуют друг на друга тела, равны по модулю и противоположны по направлению:

(2.4)

Эти силы приложены к разным телам и не уравновешивают друг друга.

2.2. Закон сохранения импульса.

Для вывода этого закона введем понятие механической системы. Это совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Силы, действующие в системе тел, подразделяют на внутренние (силы взаимодействия тел системы между собой) и внешние (силы, действующие на тела системы, со стороны тел, не входящих в неё). Замкнутой называется система тел, если на неё не действуют внешние силы.

Пусть имеется замкнутая система из n материальных точек. К каждой точке приложены силы и т.д. (рис. 2.1). Массы и скорости точек соответственно равны и v_1, v₂, v₃, ..v_n. Применим второй закон Ньютона для каждой из точек системы:

F_2-1 2

F_1-2 3 d(m₁v₁) = ( F_1-2 + F_1-3 + F_1-4 + … + F_1-n)dt ;

F_1-n F_1-3 F_3-1 d(m₂v₂) = ( F_2-1 + F_2-3 + F_2-4 + … + F_2-n)dt ;

……….. …………………………………

d(m_nv_n) = ( F_n-2 + F_n-3 + F_n-4 + … + F_n-(n-1))dt ;

F_n-1

Рис. 2.1

n

Складывая почленно эти уравнения и применяя третий закон Ньютона, получим:

, т.е. (2.5)

Суммарный импульс замкнутой системы является постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса для замкнутой системы, фундаментальный закон природы.

На основе этого закона можно объяснить, например, движение тела с переменной массой. В момент времени масса тела (ракеты) , её скорость , а через время , масса изменится на величину и станет , а скорость Применив закон (2.5), получим

Где – скорость истечения газов относительно ракеты.

Преобразуем равенство:

Величиной пренебрегаем, тогда или

.

Проинтегрируем последнее равенство:

. Отсюда

или , окончательно

(2.6)

Формула (2.6) характеризует движение ракеты с переменной массой и называется формулой Циолковского.

Закон сохранения импульса для незамкнутой системы выводится аналогично, только учитываются ещё и внешние силы, действующие на систему. Окончательно формула имеет вид:

(2.7)

Изменение суммарного импульса незамкнутой системы равно импульсу внешних сил.

2.3. Центр масс системы и его движение.

Для исследования движения системы необходимо исследовать движение каждой ее точки. Это довольно сложно, т.к. система может состоять из огромного числа материальных точек. Кроме этого в быстротечных процессах сложно определить внутренние силы.

Некоторого упрощения добиваются в подобных задачах введением понятия центра масс (центра инерции). Центром масс системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Например, центр масс двух материальных точек находится в точке, которая делит расстояние между ними в отношении обратно пропорциональном их массам. Радиус-вектор центра масс системы определяется формулой

, (2.8)

или , где

и - соответственно масса и радиус-вектор -й материальной точки; - число материальных точек в системе. Продифференцировав последнее равенство по t, получим

где М - масса всей системы. Пусть ,т.е. импульс всей системы, тогда (2.9)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс. В соответствии с (2.9) из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным, т.е. центр масс используется для нахождения закона движения твердого тела или системы.