физика лекц / Лекция 10

Лекция 10.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ. ТЕОРЕМА ОСТРАГРАДСКОГО-ГАУССА. ПОТЕНЦИАЛ. ЕМКОСТЬ.

10.1. Электрический заряд. Электрическое поле.

Электростатикой называется раздел физики, в котором изучаются свойства и взаимодействие электрических зарядов, неподвижных относительно выбранной для их изучения инерциальной системы отчета.

Известно, что при определенных условиях тела приобретают избыточный электрический заряд (электризуются). Существуют два вида электрических зарядов, условно названных отрицательными и положительными. Носителями отрицательного заряда являются в основном электроны; ядра атомов заряжены положительно. Электрический заряд является неотъемлемым свойством элементарных частиц.

Электрические заряды могут перемещаться с одного тела на другое или перераспределяться в пределах одного тела. Они могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают два элементарных заряда противоположного знака. Поэтому суммарный заряд электрической изолированной системы не может изменяться. Это утверждение носит название закона сохранения электрического заряда.

Взаимодействие зарядов определяется законом Кулона.

(10.1)

в векторной форме F = k r (10.1')

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от применяемой системы единиц, q₁ ,q₂ - заряды, r – расстояние между ними.

В системе СИ , здесь ε₀ – электрическая постоянная (ε₀=8,85*10^-7 Ф/м)

Заряд создает в окружающем пространстве поле электрических сил или электрическое поле. Это вид материи, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Электрическое поле характеризуется напряженностью

E = (10.2)

Напряженность от точечного заряда :

(10.2')

Электрическое поле изображается силовыми линиями и подчиняется принципу суперпозиции: _i=n

E = ∑ E_i (10.3)

ⁱ⁼¹

Т.е. напряженность поля, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности. Число силовых линий Е, пронизывающих некоторую поверхность – это поток вектора напряженности Ф_Е через эту поверхность S :

Ф_Е = E_nS или Ф_Е = EScos, (10.4)

если поверхность S не перпендикулярна силовым линиям, α - угол между силовыми линиями и нормалью к площади S .

10.2. Теорема Остроградского-Гаусса и ее применение.

Определим поток вектора напряженности от зарядов q₁, q₂, q₃ через замкнутую поверхность. Условимся, что поток отрицателен, если линия напряженности входит внутрь поверхности и положителен, если выходит. Упростим задачу, т.е. возьмем один заряд q внутри сферы радиусом R . Тогда E = , а силовые линии направлены по радиусам (рис.10.1) и

Ф

Рис 10.1

_Е=Е_nS

Из этих формул следует, что или

_n

Ф_Е = ∑ q_i (10.5)

ⁱ⁼¹

для суммы зарядов. Из рис.10.1 видно, что каждая силовая линия пересечет произвольную поверхность нечетное число раз.

Нечетное число пересечений при вычислении потока, в конечном счете, сводится к одному пересечению и выражение (10.5) справедливо для замкнутых поверхностей любой формы и любого количества зарядов. Формула (10.5) выражает теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакуме:

Поток вектора напряженности электрического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Применим полученную теорему для вычисления напряженностей от различных заряженных тел.

- Поле бесконечно заряженной плоскости. Из соображений симметрии, очевидно, что вектор напряженности поля Е должен быть направлен перпендикулярно к плоскости. Пусть плоскость пересечена цилиндрической поверхностью с образующими перпендикулярными к плоскости, и основаниями, параллельными ей (рис.10.2).

Поток напряженности через боковую поверхность равен нулю (силовые линии параллельны боковой поверхности). Поток через основания в силу теоремы Гаусса равен 2ES = ,

о

Рис 10.2

ткуда напряженность

(10.6)

Согласно (10.6) поле от такой плоскости однородно, перпендикулярно плоскости и не зависит от расстояния от плоскости.

- Поле плоского конденсатора. Если две пластины разноименно заряжены с поверхностной плотностью , то поле в пространстве между пластинами конденсатора равно (10.7) и сосредоточено между плоскостями. Это следует из рис.10.3, как и то, что вне пластин поле равно нулю.

Рис. 10.3

- Поле заряженной сферы. Поле заряженной сферы обладает центральной симметрией, т.е. вектор E направлен по радиусам.

Согласно теореме Гаусса, поле внутри сферы Е=О, т.е. внутри сферы нет зарядов. Вне сферы, т.е. при rR (R - радиус сферы), в силу теоремы или:

(10.8)

Следовательно, поле заряженной сферы совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центр сферы. В близи поверхности сферы поле равно

где σ – поверхностная плотность заряда сферы, а R = r.

10.3. Потенциал электрического поля

Пусть в поле q перемещается заряд q₁ ( оба заряда точечные).

Рис 10.4

Из рис 10.4 следует, что работа на пути 1-2 равна dA = F∙dS∙Cosα, при этом . Отсюда . Проинтегрируем последнее, получим:

(10.10)

Из (10.10) следует, что работа не зависит от траектории перемещения, а зависит только от относительных положений точек 1 и 2. Такие поля потенциальные, а силы в них - консервативные. Из (10.10) следует также, что работа по замкнутому контуру равна нулю, т.е. . Из этой формулы, рассматривая работу при перемещении единичного точечного заряда, можно получить

(10.10`).

Этот интеграл – циркуляция вектора напряженности является условием потенциальности для электрического поля.

Основной энергетической характеристикой электрического поля является потенциал. Это величина равная потенциальной энергии единичного

заряда. Можно определить потенциал как работу перемещения единичного заряда из бесконечности в данную точку. Тогда из (10.10):

(10.11)

или (10.12)

В общем, случае при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 (10.10) можно записать .

Найдем взаимосвязь между силовой характеристикой поля и энергетической, т.е. напряженностью и потенциалом. Известно dA=qd и dA=Fdr=qEdr. Отсюда. В векторной форме, в проекциях на оси координат

получим: Е = -( i + j + k )

где i, j, k - единичные векторы (орты). Выражение в скобках - градиент потенциала, т.е. E = -gradφ = - φ (10.13)

Знак "минус", указывает, что вектор E направлен в сторону убывания .

10.4. Электроемкость.

Рассматривая проводники в электрическом поле, можно убедиться, что потенциал уединенного заряженного проводника пропорционален его заряду  ~ q или , где коэффициент пропорциональности С называется электроемкостью уединенного проводника.

(10.14)

Электроемкость численно равна заряду, при сообщении которого потенциал повышается на единицу. Измеряется в фарадах ( Ф ). Электроемкость уединенного шара радиуса R

Емкость плоского конденсатора, состоящего из двух пластин площадью S , поверхностной плотностью заряда , находящихся на расстоянии d , с учетом, что напряженность поля между пластинами вычисляется следующим образом. Известно:

отсюда

Емкость батареи конденсаторов при параллельном соединении:

С = С₁ + С₂ + ... + С_п, а при последовательном:

Из последнего равенства , откуда получим C_i > C т.е. емкость батареи при последовательном соединении меньше емкости любого конденсатора, входящего в соединение.