Механима, термодин, молекуляр / Physics_part_2

процессом. Причина несоответствия состоит в том, что в процессах установления равновесия (релаксации) важную роль играют не только скорости движения молекул, но и столкновения между ними и обусловленная столкновениями длина пробега. Так диффузионное время релаксации τ (время, за которое выравнивается концентрация диффундирующего вещества) имеет порядок величины

где L –линейный размер области, в которой в начальный момент времени концентрация вещества распределена неравномерно, D – коэффициент диффузии. Вследствие малости коэффициента диффузии это время значительно.

Пример 20.1. Оценим время, за которое за счет диффузии запах духов распространится в воздухе на расстояние 1 м. Полагая коэффициент диффузии духов в оздухе D ≈ 10 – 5 м2/с, согласно (20.4) будем иметь

Полученный ответ не соответствует повседневному опыту. Вывод – определяющим процессом в распространении запахов является не диффузия, а конвекция, т.е перенос молекул духов потоками воздуха.

Пример 20.2. Определить зависимость коэффициента диффузии D от температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном.

По формуле (20.3) коэффициент диффузии D 13 v . Раскроем значения сред-

D ~ T T , 2) при изохорном процессе, для которого р ~ Т, D ~ Т .

§ 21. Теплопроводность

Предположим, что есть два источника тепла в виде широких пластин различной температуры Т1 и Т2, расположенных перпендикулярно оси х. Между пластинами помещается газ, в начальный момент времени одинаково разогретый по всему объему (рис. 38).

За счет теплового движения через площадку S проходят молекулы как слева направо, так и справа налево, и если

Рис. 38.

71

давление газа во всех точках одно и то же, то числа этих молекул одинаковы. Но молекулы, движущиеся слева, несут с собой большую энергию, чем

молекулы, приходящие к площадке справа, потому что они приходят из области высокой температуры. В результате непосредственной передачи энергии от молекул, обладающих большей энергией, молекулам с меньшей энергией возникает поток тепла слева направо, равный разности энергий, переносимых молекулами слева и справа.

Газ, заполняющий зазор между пластинами, передает внутреннюю энергию от горячего тела к более холодному, вследствие чего происходит выравнивание температуры. Этот процесс называется теплопроводностью.

.При этом в газе устанавливается некоторое распределение температур T(х) и температурный градиент dT/dx.

Закон теплопроводности был сформулирован Фурье. Тепловой поток ФQ через поверхность S удовлетворяет уравнению

Q dx

Постоянная κ называется теплопроводностью и имеет размерность [κ] = Дж/(м∙с∙К). Знак минус показывает, что поток теплоты направлен в сторону понижения температуры, т.е. против градиента температуры dT/dx.

Для идеального газа согласно кинетической теории газов

1 с v , (21.2)

где ρ – плотность газа, cV – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Пример 21.1. Современные окна, например, однокамерные стеклопакеты, состоят из двух стекол толщиной 4 мм и воздушной прослойки толщиной d = 14 мм.

Теплопроводность стекла κст ≈ 1 Вт/(м∙К), теплопроводность воздуха в 50 раз меньше

– κ = 0, 026 Вт/(м∙К). Поэтому главную роль в сохранении тепла в комнате играет воздушная прослойка между стеклами.

Если в комнате поддерживается постоянная температура t1, а на улице t2, то имеет место стационарная теплопроводность, и в воздушном промежутке устанавливается линейное распределение температуры. Поэтому градиент температуры равен

Пусть площадь окна составляет 2 м2., а температура на улице t2 = – 10 °С. Оценим поток тепловой энергии через такое окно:

Потери тепловой энергии через окно за месяц

Q = 111,4∙24∙30 = 80,2 кВт-ч.

72

§ 22. Вязкость

Вязкость или внутреннее трение – это свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.

Между слоями газа или жидкости, которые перемещаются параллельно друг другу с различными по величине скоростями, возникают силы трения. Эти силы направлены по касательной к поверхности соприкасающихся слоев. Со стороны слоя, который движется быстрее, на слой, который движется медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, слой, движущийся медленнее, тормозит слой газа, который движется быстрее.

Таким образом, этот процесс способствует выравниванию скоростей движения различных слоев газа.

Рассмотрим механизм возникновения вязкости. Представим себе газ(или жидкость), текущий вдоль трубы (рис. 39). При

этом скорости разных слоев распределены так, как показано на рис.39, где стрелки представляют векторы скоростей u слоев, перпендикулярные оси х.

Наибольшая скорость наблюдается в средней прилегающей к оси части трубы, по мере приближения к стенкам скорость уменьшается, а слой, непосредственно прилегающий к стенкам трубы, неподвижен.

В результате теплового движения молекулы перелетают из одного слоя газа в другой, перенося при этом свой импульс mu упорядоченного движения из одного слоя в другой. В итоге обмена молекулами между слоями, движущимися с различными скоростями, импульс упорядоченного движения быстрее движущегося слоя уменьшается, а медленнее движущегося слоя – увеличивается. Другими словами, быстрее движущийся слой тормозится, а медленнее движущийся – ускоряется.

Согласно второму закону Ньютона сила равна быстроте изменения импульса, т.е. производной импульса по времени.

Это значит, что на каждый из слоев, движущийся относительно соседнего, действует сила, равная изменению импульса в единицу времени.

Сила эта – сила трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Отсюда и название – внутреннее трение.

Уравнение для силы внутреннего трения между соседними слоями уста-

73

Здесь η – динамическая вязкость, S – площадь поверхности, лежащей на границе между слоями, du/dx – быстрота изменения скорости течения жидкости или газа в направлении х, перпендикулярном к направлению движения слоев (градиент u).

Согласно кинетической теории газов

Вязкость измеряется в килограммах на метр∙секунду (кг/м∙с) или, что то же самое, в паскаль∙секундах (Па∙с). Употребляется также единица измерения г/с∙см, называемая пуазом.

В качестве примера приведем значения динамической вязкости некоторых газов и жидкостей при температуре 20º С.

Пример 22.1. Используя данные для водяного пара при нормальных условиях: плотность ρ = 0,7 кг/м3, средняя арифметическая скорость молекул <v> = 566 м/с, средняя длина свободного пробега λ = 1.24∙10–7 м, концентрация молекул n = 2,69∙1025 м –3 , произведем численные оценки коэффициентов переноса.

Коэффициент диффузии D = 1,2∙10 –5 м2/с; теплопроводность (для i = 6) κ = 0,02 Дж/(м∙с∙К); динамическая вязкость η = 0,8∙10 –5 Па∙с.

Эти данные характерны при нормальных условиях для большинства газов.

Контрольные вопросы

1.Возможны ли стационарные, но неравновесные состояния системы?

2.Почему при жаре массивные металлические предметы на ощупь кажутся горячими, а деревянные – нет?

3.Почему шерстяная одежда хорошо сохраняет тепло?

4.Как зависит теплопроводность κ идеального газа от давления?

5.Почему в ветреную погоду более прохладно, чем в отсутствие ветра?

6.При медленном выдыхании воздуха на руку ощущается тепло, а при быстром – холод. Почему?

7.Каков механизм возникновения сил трения в газах и жидкостях?

8.Каким явлением объясняется тот факт, что ветер с течением времени утихает?

74

Глава 4. ЖИДКОСТИ

§ 23 Строение жидкостей. Поверхностное натяжение

По своей структуре жидкости занимают промежуточное положение между газами и твердыми телами.

Силы взаимодействия между молекулами жидкости являются силами Ван-дер-Ваальса, то есть силами притяжения, которые на очень малых расстояниях переходят в силы отталкивания.

Когда средняя кинетическая энергии молекул становится меньше модуля средней потенциальной энергии их притяжения, возникает связанное состояние системы молекул, т.е. жидкость.

Вгазах расстояние между молекулами в среднем большое, поэтому они быстро изменяют взаимное положение. Молекулы газов движутся совершенно хаотично, в их расположении отсутствует какой бы то ни было порядок.

Вжидкостях расстояние между молекулами гораздо меньше, чем в газах. Поэтому молекулы сравнительно медленно меняют свое взаимное положение. Группы молекул могут образовывать агрегаты молекул, напоминающие по своим свойствам твердое тело. Говорят, что в жидкостях наблюдается ближний порядок – упорядоченное расположение только соседних молекул. На больших расстояниях порядок «размывается» и переходит в «беспорядок».

Молекулы жидкости совершают тепловые колебания около временных положений равновесия. Время от времени молекула скачком перемещается в новое положение равновесия, отстоящее на расстояние порядка размеров самих молекул.

Если газы всегда занимают объем сосуда, в котором они находятся, то жидкости имеют собственный объем и ограничивающую его поверхность.

Молекулы жидкости располагаются так близко друг к другу, что силы притяжения между ними (силы Ван-дер-Ваальса) имеют значительную величину. Однако силы притяжения между молекулами с увеличением расстояния между ними быстро убывают. Поэтому заметное воздействие молекул друг на друга осуществляется в пределах не-

большого расстояния r м.д., называе-

мого радиусом молекулярного дей-

ствия. Сфера радиуса r м.д. называет-

ся сферой молекулярного действия.

Радиус молекулярного действия равен нескольким эффективным диаметрам молекулы.

Таким образом, каждая молекула испытывает притяжение со стороны всех молекул, находящихся

75

центром данной молекулы.

Когда молекула находится внутри жидкости, то ее со всех сторон симметрично окружают другие молекулы. Результирующая сила притяжения к соседним молекулам в среднем равна нулю (рис. 40).

У молекулы, которая находится на поверхности жидкости, окружение несимметричное (рис. 40). Взаимодействие молекул жидкости с молекулами пара и воздуха над жидкостью настолько незначительны, что ими можно пренебречь. Все молекулы, которые расположены в поверхностном слое жидкости, толщина которого равна радиусу сферы молекулярного действия, находятся под действием результирующих сил молекулярных взаимодействий, направленных внутрь жидкости. Эти силы создают поверхностное молекулярное давление на жидкость.

Молекулярное давление поверхностного слоя в жидкостях достаточно сильное, например, для воды оно равно 109 Па. Наличием такого большого молекулярного давления можно объяснить малую сжимаемость жидкостей.

Переходя из глубины жидкости в поверхностный слой, молекулы выполняют работу против результирующих сил молекулярных действий нижних слоев. За счет этого потенциальная энергия молекулы увеличивается. Поэтому молекулы поверхностного слоя имеют большую потенциальную энергию, чем молекулы остального объема жидкости.

Положение равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии. Поэтому в отсутствие внешних сил жидкость принимает форму с минимальной поверхностью, т.е. форму шара. В условиях невесомости жидкость принимает форму шара, а в условиях земного тяготения такую форму принимают только небольшие капли.

Наличие поверхностной энергии обусловливает стремление жидкости к сокращению своей поверхности. Жидкость ведет себя так, как если бы она была заключена в упругую растянутую пленку, стремящуюся сжаться. Естественно, что никакой пленки, ограничивающей жидкость снаружи, нет. Поверхностный слой состоит из тех же молекул, что и вся жидкость.

Выделим мысленно участок поверхности жидкости, ограниченный замкнутым контуром. Стремление этого участка к сокращению приводит к тому, что он действует на остальную часть поверхности с касательными к поверхности силами, перпендикулярными в каждом месте к соответствующему элементу контура. Эти силы называют силами поверх-

ностного натяжения.

Сила, приходящаяся на единицу длины контура, называется поверхност-

ным натяжением и обозначается буквой σ. Измеряют ее в ньютонах на метр

(Н/м).

Действием сил поверхностного натяжения объясняется сокращение мыльной пленки, которая затягивает проволочный каркас с подвижной сто-

76

роной (рис. 41). Чтобы удержать перемычку каркаса от перемещения в сторону сокращения площади пленки, к ней нужно приложить внешнюю силу F, уравновешивающую силу поверхностного натяжения.

У пленки две поверхности, поэтому слой жидкости граничит с перемычкой по контуру длиной 2l и, следовательно, действует на перемычку с силой, равной

Увеличив внешнюю силу F на пренебрежимо малую величину, сместим перемычку вправо на расстояние dx. При этом перемычка совершит над жидкой пленкой работу

где dS – приращение площади поверхностного слоя пленки.

Результатом совершения работы (23.2) являются увеличение площади поверхностного слоя на dS и, следовательно, возрастание поверхностной энергии на

Из сравнения выражений (23.2) и (23.3) вытекает, что поверхностное натяжение σ представляет собой дополнительную энергию, которой обладает единица площади поверхностного слоя. В соответствии с этим σ можно измерять не

только в ньютонах на метр, но также и в джоулях на квадратный метр (Дж/м2).

У большинства жидкостей поверхностное натяжение имеет при 20º С порядок от 10–2 до 10–1 Н/м. Например, у эфира 1,71·10 – 2 , ацетона 2,33·10 – 2 , бензола 2,89·10 – 2 , глицерина 6,57·10 –2 , воды 7,27·10–2 Н/м. Однако у ртути

0,465 Н/м

Пример 23.1. Один из методов экспериментального определения поверхностного натяжения связан с наблюдениями над отрывом капель жидкости, вытекающих из узкой трубки. При выходе из трубки размер капли постепенно возрастает и отрывается она тогда, когда достигает вполне определенной величины.

Перед отрывом капли образуется шейка, радиус которой rш несколько меньше радиуса трубки. Вдоль окружности этой шейки действует сила поверхностного натяжения, которая удерживает ее. Отрыв произойдет тогда, когда вес капли Р станет равным силе поверхностного натяжения.

Если радиус шейки примерно равен радиусу трубки r, а поверхностное натяжение жидкости σ, то сила поверхностного натяжения равна 2πr·σ. Следовательно, условие отрыва капли

Обычно в целях повышения точности измерения отсчитывают определенное количество капель, измеряют их общий вес и, полагая, что капли имеют сфериче-

скую форму, определяют их радиус. Вес висящей сферической капли радиуса R равен (4/3)πR3·ρ·g, где ρ – плотность жидкости. Условие отрыва капли

77

Пусть на опыте установлено, что радиус капли воды R = 2,26·10–3 м, радиус трубки r = 10–3м Определим по этим данным поверхностное натяжение воды. Из формулы (П. 23.2) находим

§ 24. Условия равновесия на границе жидкость – твердое тело.

Смачивание

Если на поверхность твердого тела поместить каплю жидкости, то зависимости от соотношения поверхностных натяжений возможны два варианта (рис. 43). Капля воды растекается на стекле, в то же время как ртуть на той же поверхности превращается в сплюснутую каплю.

Обозначим через dl элемент длины, направленный вдоль линии соприкосновения трех сред – твердой, жидкой и газообразной. Отметим, что элемент длины dl направлен перпендикулярно плоскости чертежа.

Обозначим далее поверхностное натяжение на границе твердого тела и жидкости через σт, ж, на границе твердого тела и газа – через σт, г, на границе жидкости и газа – через σж, г.

Силы поверхностного натяжения, действующие на элемент длины, равны соответственно

В зависимости от соотношения между поверхностными натяжениями краевой угол может принимать значения от 0 до 180º.

78

Если σт, г > σт, ж, угол θ оказывается острым, если σт, г < σт, ж , угол θ – тупой. Первый случай называется частичным смачиванием (рис. 43, а), второй случай – частичным несмачиванием (рис. 43, б).

Если σт, г - σт, ж = σж, г, краевой угол равен нулю и жидкость растекается по поверхности твердого тела тонким слоем. Имеет место полное смачивание. Это же будет наблюдаться и при σт, г - σт, ж > σж, г.

Соответственно, при

σт, ж = (σт, г + σж, г)

краевой угол равен 180º и жидкость полностью отделяется от поверхности твердого тела, касаясь ее в одной точке – имеет место полное несмачивание. Оно наблюдается, например, для воды на парафине.

Взаимодействие частиц жидкости с частицами твердого тела влияет и на форму поверхности, налитой в сосуд. Плоская и горизонтальная по-

верхность в широкой части сосуда искривляется у самых стенок, образуя вогнутый мениск у смачивающих жидкостей и выпуклый у несмачивающих (рис.

45).

При плавании тел в жидкости из-за эффектов смачивания и несмачивания возникают дополнительные силы, которые либо увеличивают подъемную силу, либо уменьшают ее. Когда жидкость смачивает твердое тело, то поверхностное натяжение направлено против подъемной силы и стремится погрузить брусок в жидкость (рис.46, а). Когда жидкость не смачивает твердое тело, поверхностное натяжение направлено вверх и стремится вытолкнуть брусок из жидкости (рис.

46. б).

На различном смачивании веществ основано явление флотации. Флотация состоит в разделении смеси порошков на основе их избирательного смачивания различными жидкостями. При флотации предварительно раздробленную породу

Рис. 46. (0,1 – 0,01 мм) перемешивают в воде, которая содержит незначительные концентрации поверхностно-активных веществ (например, дешевых масел), и вспени-

вают. Пустая порода (кварц, силикаты, известняки и т.д.) оседает на дно, поскольку она смачивается. Частицы ценных материалов втягиваются в масло, притягиваются к пузырькам воздуха и выносятся с пеной в отстойники.

Флотация — один из основных методов обогащения руд, углей и других полезных ископаемых.

79

§ 25. Давление под искривленной поверхностью. Формула Лапласа

Всякая поверхностная пленка жидкости под действием сил поверхностного натяжения сокращается до минимальной площади, т. е стремится стать плоской. Стремясь стать плоской, выпуклая пленка увеличивает давление на жидкость, а вогнутая уменьшает его (рис. 47). Здесь р0 – атмосферное давление, р – дополни-

тельное давление.

Определим величину дополни- Рис. 47. тельного давления р под искривленной поверхностью. Пусть жид-

кость ограничена сферической поверхностью радиуса R.

Выделим на этой поверхности площадку S, опирающуюся на круглое основание S0 радиуса r = R cos θ .

К любому элементу длины окружности приложены силы поверхностного натяжения F, направленные по касательной к поверхности сферы.

Каждую из этих сил можно разложить на составляющие, как показано на рис. 48.

Составляющие F ' взаимно компенсируются.

Рис. 48. Тогда сумма всех сил поверхностного натяжения, действующих по периметру основания S0, дает равнодействующую, перпендикулярную S0 и

равную

Разделив эту силу на площадь основания S0 = πr2, получим дополнительное давление на жидкость от сил поверхностного натяжения, обусловленное кривизной поверхности

(формула Лапласа).

Здесь R1 и R2 – главные радиусы кривизны поверхности в данной точке. Если через нормаль к поверхности провести рассекающие плоскости, то линии

80