Добавил:

Harsa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Механима, термодин, молекуляр / Metodicheskie_ukazaniya_i_kontrolnye_zadaniya

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.09.2025

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Так как

ν = m/µ,

где µ – молярная масса, то

N = (m / µ)N A .

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на

объем V, получим
		N = ρVN A / µ.		(1.27)
Произведем вычисления,			учитывая, что для	воды µ =
= 18 10−3 кг/моль:
		ρ =1 103 кг/м3;
	N A = 6,02 1023 моль−1;
103 10−9	6,02 1023		молекул = 3,34 1019
N = 18 10−3				молекул.
Массу m0 одной молекулы можно найти по формуле
		m 0 = µ/ N A.		(1.28)
Подставив в(1.28) значения µ и NA, найдем массу молекулы воды:
m 0	=	18 10−3	кг = 2,99 10−26 кг.
		6,02 1023

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка)

V0 = d 3,

где d – диаметр молекулы. Отсюда

d = 3 V .	(1.29)
0

Объем V0 найдем, разделив молярный объем Vm на число молекул в моле, т. е. на NA:

V0 =Vm / N A.

(1.30)

Подставим выражение (1.30) в (1.29):

d = 3 Vm / N A ,

где Vm = µ / ρ. Тогда

d = 3 µ/(ρN A ).

(1.31)

Проверим, дает ли правая часть выражения (1.31) единицу длины:

[	µ	]			1/ 3		1 кг/моль

						=		=1 м.
[ρ][N							кг/м3 1 моль−1
			A	]		1

Произведем вычисления:

d =		18 10−3		−10	м.
d =	3	103	6,02 1023 м = 3,11 10		м.
	3

Задача 1.12

Вбаллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа и при температуре 300 К. После того как из баллона было взято 10 г

гелия, температура в нем понизилось до 290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.

Дано:

V = 10 л = 1 10-2 м3;

P1 = 1 МПа = 1 106 Па; T1 = 300 K;

T2 = 290 K;

m = 10 г = 0,01 кг.

P2 = ?

Решение

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

P2V = (m2 / µ)RT2,	(1.32)
где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии;
µ – молярная масса гелия;
R – универсальная газовая постоянная.
Из уравнения (1.32) выразим искомое давление:
P2 = m2RT2 / (µV ).	(1.33)

Массу m2 гелия выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

m2 = m1 − m.

(1.34)

Массу m1 гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

m = µPV / (RT ).			(1.35)
1	1	1

Подставив выражение массы m1 в (1.34), а затем выражение m2 в

(1.33), найдем

		µP1V		RT2

P2	=	RT	− m		,
				Vµ
		1

или после преобразования и сокращения

P =

P −

RT2

(1.36)

Произведем вычисления, учитывая, что

R = 8,31 Дж моль K ;

m = 4 10−3 кг моль;

290

10−6

10−2

8,31

105

−

290

Па = 3,64

Па.

−3

−2

300

4 10

Задача

1.13

Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и постоянном давлении cP неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Дано:

Газы: неон (Ne);

водород (H2).

cV (Ne ) = ? cP(Ne ) = ? cV (H2 ) = ? cP(H2 ) = ?

Решение

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

		c	P	= i + 2		R	;	c	= iR ,	(1.37)
		c		= i + 2			;	c	= iR ,	(1.37)
					2 µ			V	2µ
					2 µ				2µ
где i – число степеней свободы молекулы газа;
µ – молярная масса.
Для неона (одноатомный газ) i								= 3;	µ = 20 10-3	кг/моль. При
вычислениях по формулам (1.37) получим
c	=	3 8,31			Дж/(кг К) = 6,24 102 Дж/(кг К);
c	=				Дж/(кг К) = 6,24 102 Дж/(кг К);
V		2 20 10−3
		2 20 10−3
cP	= (3 + 2) 8,31				Дж/(кг К) =1,04 103 Дж/(кг К).
		2 20 10−3

Для водорода (двухатомный газ) i = 5; µ = 2 10-3 кг/моль. При вычислениях по тем же формулам получим


c	=	5 8,31	Дж/(кг К) =1,04 104 Дж/(кг К);
c	=		Дж/(кг К) =1,04 104 Дж/(кг К);
V	2	2 10−3
	2	2 10−3
cP	= (5 + 2) 8,31			Дж/(кг К) =1,46 104	Дж/(кг К).
	2	2 10−3

Задача 1.14

Вычислить удельные теплоемкости cV и cP смеси неона и водорода, если массовая доля неона w1 = 80%; массовая доля водорода

w2 = 20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Дано:

c		= c			)		= 6,24 102	Дж/кг К;
V		V (N			)
	1		e
cP		= cP(N			) =1,04 103			Дж/кг К;
	1		e
c		= c				)	=1,04 104	Дж/кг К;
V		V (H		2		)
	2			2
cP		= cP(H		2		) =1,46 104		Дж/кг К;
	2			2

w1 = 80 %; w2 = 20 %.

cP = ?; cV = ?

Решение

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сV найдем следующим образом.

Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ∆Т, выразим двумя способами:

Q = cV (m1 + m2 )∆T;

(1.38)

		Q = (cV m1 + cV	2	m2 )∆T,	(1.39)
		1	2
где	cV	– удельная теплоемкость неона;
	1
	cV2	– удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1.38) и (1.39) и разделив обе части полученного равенства на ∆Т, получим

cV (m1 + m2 ) = cV1 m1 + cV2 m2 ,

откуда

c	= c		m1		+ c		m2		(1.40)
		m	+ m			m	+ m
V	V1			2	V2			2
		1				1

или					cV = cV		w1		+ cV	w2 ,
					cV = cV		w1		+ cV	w2 ,	(1.41)
						1			2
где w1	=		m1	; w2	=	m2		– массовые доли неона и водоро-
где w1	=	m1	+ m2	; w2	=			– массовые доли неона и водоро-
		m1	+ m2			m1 + m2

да в смеси.

Подставив в формулу (1.41) числовые значения величин, найдем

cV = (6,24 102 0,8 +1,04 104 0,2) Дж/(кг К) = 2,58 103 Дж/(кг К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления

удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении
cP	= cP w1	+ cP w2.	(1.42)
	1	2

Подставим в формулу (1.42) числовые значения величин:

cP = (1,04 103 0,8 + 1,46 104 0,2) Дж/(кг К) = 3,75 103 Дж/(кг К).

Задача 1.15

В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при температуре 300 К. Водород сначала расширялся адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Дано:

m= 0,02 кг;

Т= 300 К;

n1 = 5; n2 = 5.

T2 =? А1 = ? А2 = ?

Рис. 1.5

Решение

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

T2			γ−1	T2			1
	V1
	=		;		=			,	(1.43)
T		V		T		n	γ−1
1	2			1

где γ – отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме, для водорода как двухатомного газа

γ = 1,4, µ = 2 10-3 кг/моль;

n1 = V2 = 5. V1

Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:

T =	T1	.	(1.44)
T =	nγ−1	.	(1.44)
2	nγ−1
	1

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

T2 = 300 = 300 К =157 К. 51,4−1 1,91

Работа А1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

A = m C		(T −T	)=	miR(T1 −T2 )	,	(1.45)

1	µ V	1 2	2µ

где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К); i = 5

(для водорода как двухатомного газа); m = 0,02 кг; µ = 2 10−3 кг/моль;

Т1 = 300 К; Т2 = 157 К в правую часть формулы (1.45) и выполняя арифметические действия, получим


A =	0,02 5 8,31		(300 −157) Дж = 2,98 104	Дж.

1	2	10−3 2

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

RT ln

;

RT ln

(1.46)

µ 2

где n2 = V2 .

Подставим в формулу (1.46) числовые значения величин:

A =		0.02	8,31 157 ln 1	Дж = −21 103 Дж.

2	2	10−3	5

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами. График процесса приведен на рис. 1.5.

Задача 1.16

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру холодильника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу 350 Дж.

Дано:

A = 350 Дж; T1 = 500 K.

T2 = ?;

η = ?

Решение

Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу.

Термический КПД выражается формулой

η = А/Q1,

(1.47)

где Q1 – теплота, полученная от нагревателя;

А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

η =	350		= 0,35.

1000
Зная КПД цикла, можно по формуле
η =		T1 −T2
			T
1
определить температуру холодильника Т2:
Т2 = Т1 (1 - η).				(1.48)
50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Механима, термодин, молекуляр

#
27.09.20251.11 Mб3Metodicheskie_ukazaniya_i_kontrolnye_zadaniya.pdf
#
27.09.20251.88 Mб2Physics_part_2.pdf