МАТАН ЭКЗАМЕН / 28 / разложение комплексных и вещ дробей
.docxПример разложения дроби на множители со знаменателем $x^n+1$
Рассмотрим рациональную дробь следующего вида:
где
Задача ставится о разложении данной дроби в сумму элементарных дробей.
Основная проблема в том, что в зависимости от четности уравнение не имеетвещественных корней или имеет всего лишь один вещественный корень, все остальныекомплексные корни.
Один из способов разлоить данную дробь основывается на том, что решение уравнения выписывается в явном виде (над полем комплексных чисел ) и еще на паре свойств этого решения, о которых будет сказано позже.
Сначала найдем все корни уравнения . Здесь используем формулу Эйлера
здесь
с помощью которой можно представить комплексное число, записанное в алгебраической форме , где , в виде:
где , -- модуль числа и -- аргумент (угол) комплексного числа , определяется из равенства: или .
Перепишем уравнение в следующем виде (используя формулу Эйлера):
где
Используя формулу Муавра, получаем, что -ый корень уравнения определяется равенством:
где
Далее учтем свойство комплексных корней уравнения с вещественными коэффициентами -- если корень -- комплексный, то существует сопряженныйему корень , т.е. -- два корня уравнения и в разложении будет:
т.е. получаем двучлен с вещественными коэффициентами.
Рассмотрим два случая: -- четное (действительных корней нет) и -- нечетное ( -- единственный действительный корень).
Учитывая, что в разложение комплексный корень входит вместе со своим сопряженным,получаем, что
где -- вещественные числа такие, что -- корень.
Используя представление рациональной функции в виде суммы элементарных дробей (метод неопределенных коэффициентов), имеем:
далее, приводя к общему знаменателю и применяя метод неопределенных коэффициентов, определяем значения неизвестных , где и
В общем случае получить ответ этим способом очень трудно и не нужно, но в частных случаях, при конкретном значении достаточно легко, но рутино.
Найдем в аналитическом виде все корни данного уравнения и коэффициенты разложения на множители.
Рассмотрим случай четного показателя степени, т.е. , из формулы Муавра получаем:
где
Все корни расположены на единичной окружности комплексной плоскости и образуют правильный - угольник, так, что вершина -- это корень. Оси симметрии у многоугольника -- это оси и .
В симметричных относительно оси вершинах находятся сопряженные корни, получаем, что корни и -- сопряженные, действительно:
и
здесь
Учитывая вышеизложенное получаем:
где
Рассмотрим случай нечетного показателя степени, т.е. , из формулы Муавраполучаем:
где
Все корни расположены на единичной окружности комплексной плоскости и образуют правильный - угольник, так, что вершина -- это корень. Ось симметрии у многоугольника -- это ось . Вершина, которая соответствует корню , расположена на оси и имеет координаты .
Симметричные относительно оси являются сопряженными, получаем, что корни и -- сопряженные, действительно:
и
Учитывая вышеизложенное, получаем:
Здесь найдены коэффициенты и разложения на множители. Коэффициенты обладают свойством, что для всех .
Окончательно получим:
где