МАТАН ЭКЗАМЕН / 41 / третье достаточное условие экстремума

Достаточные условия экстремума функции z = f (x,y)

Теорема. Пусть функция f (x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки (x₀,y₀), в которой f'_x = f'_y = 0. Если при этом в этой точке выполнено условие D = f''_xx × f''_yy – f''_xy² > 0, то точка (x₀,y₀) является точкой экстремума, причем точкой максимума, если f''_xx < 0, и точкой минимума, если f''_xx > 0.

Если же в этой точке f''_xx × f''_yy – f''_xy² < 0, то экстремума в точке (x₀,y₀) нет.

В том случае, если f''_xx × f''_yy – f''_xy² = 0 в точке (x₀,y₀), теорема ответа не дает.