МАТАН ЭКЗАМЕН / 41 / ассимптоты

  Тема № 8.  Асимптоты

Определение 1. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при  или .

Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов  f (а + 0),  f (а –  0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Пример 24. Найти вертикальные асимптоты функции

.

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точках х = – 1, х = +1. Значит функция в этих точках не определена. Классифицируем разрыв, вычислив односторонние пределы. Эту работу можно уменьшить, если учесть чётность функции:  у(– х) = у(х) (см. рис. 25). Исследуем только одну из точек разрыва, например,  х = – 1:

,

.

Следовательно, прямые х = – 1, х = 1 –  вертикальные асимптоты.

Прямая у = b называется горизонтальной асимптотой, если выполняется условие .

В частности, это полупрямая у = b при  или .

Так в примере 23 функция  имеет горизонтальную асимптоту у = 0, так как  (см. рис. 25).

Определение 2. Прямая у = k х + b называется наклонной асимптотой графика функции f(х) при  , если эту функцию можно представить в виде:

f (х) = kх + b + a (х), где .

То есть разность a  (х) между ординатами точек кривой и асимптоты при  () есть величина бесконечно малая.

Теорема. Чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:

 ,   , (21)

причём при  и при  эти пределы могут быть неравными, то есть кривая может иметь различные асимптоты при  и.

Если k  = 0, , уравнение асимптоты принимает вид

у = b, то есть получаем уравнение горизонтальной асимптоты.