Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МАТАН ЭКЗАМЕН / 20 / диф сложной функции

.docx
Скачиваний:
31
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
42.7 Кб
Скачать

Теорема: Пусть  и функции x = x(uv)y(uv) x(u0v0), y0 = y(u0v0).

Тогда f(x(uv), y(uv))D(u0v0) и

Доказательство: Рассмотрим разности:

из которых следует, что

f(x(uv), y(uv)) - f(x(u0v0), y(u0v0)) = 

Следовательно, по определению дифференцируемости функция двух переменных:

f(x(uv), y(uv))D(u0v0) и

Теорема доказана.

Дифференциал функции двух переменных. Свойство инвариантности дифференциала.

Пусть .

Определение: Дифференциал d функции  в точке  называется следующее выражение:

или сокращённо: , где dx и dy – дифференциалы переменных x и y.

Пусть x = x(uv) и y(uv).

Тогда по определению:

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

Последнее равенство следует из доказанных формул замены переменных.

Таким образом df можно представить в виде:

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Частные производные высших порядков. Равенство вторых смешанных производных.

Первые частные производные  и  есть функции от переменных x и y. Назовём по определению вторыми частными производными функции  следующие выражения:

еорема: Пусть  и  непрерывны в некоторой окрестности точки (xy), а  и  непрерывны в самой точке (xy). Тогда в точке (xy) равенство:

=

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Обозначим

Заметим, что

.

По формуле Лагранжа:

где x1(xx + Δx), y1(yy + Δy).

Аналогично, для функции h(xy) справедливы равенства:

где x2(xx + Δx) и y2(yy + Δy).

Из доказанных равенств следует, что

 

Если 

Поэтому, ввиду непрерывности функций  и  в точке (xy) справедливо равенство: =

Теорема доказана.

Следствие:

Для смешанных производных высших порядков верно равенство: