§ 5,6. Линейные уравнения. Уравнения
Бернулли
y' P(x) y Q(x) y' P(x) y Q(x) ym
Заменой y u(x)v(x) |
уравнения сводятся к |
||||||||||
двум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнениям с разделяющимися |
4 |
|
|
|
|||||||
Решить задачу Коши: |
y' |
3y |
|
|
y(1) 2 |
||||||
x |
y |
2 |
|
||||||||
переменными |
|
|
|
|
|
|
|
||||
y uv , |
y' u'v uv' |
u' v uv' |
3uv |
|
4 |
||||||
|
x |
u2v2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3v |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u' v u v' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2v2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
Линейные уравнения. Уравнения
Бернулли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3v |
|
|
4 |
|
|
v' |
x |
|
0 |
|
|
|||||||||
u' v u v' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
2 |
v |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u' v |
|
|
2 |
v |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|||
1) v' |
3v |
0 |
|
v' |
3v |
|
|
|
dv |
3v |
|
dv |
3dx |
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
v |
|
|
|
x |
|||||
dvv |
3 dxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln v 3ln x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ln v ln x3 |
|
v x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Линейные уравнения. Уравнения
Бернулли
|
3v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) v x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v' |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u' v |
|
2 |
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
3 du |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
2) u' v |
|
|
|
|
x u' |
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||
u2v2 |
u2 x6 |
|
u2 x6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
u3 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
u2du |
4 x9 |
u2du 4 x9 |
|
|
3 |
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||||
2x8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y uv x3 3 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
||||||
u 3 |
|
|
C |
|
|
|
C 3 |
2 x Cx |
|
|||||||||||||||||||||
2x8 |
|
|
|
2x8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Линейные уравнения. Уравнения
Бернулли
|
|
|
|
|
3 |
3 |
9 |
|
общее решение |
2 x Cx |
|
|
||
y |
|
|
|
йдем частное решение, удовлетворяющее условию
y(1): 2
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
13 |
|
3 |
1 C 19 3 |
3 |
|
|
|
C 8 |
|||
y(1) 3 |
2 |
2 |
C 2 |
|
2 |
C 2 |
||||
|
|
|
|
|
y 3 |
1 |
(x 13x9 ) |
частное решение |
|
|
2 |
|
|
|
§ 7. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение P(x; y)dx Q(x; y)dy = 0является уравнением в полных ифференциалах, если выполняется условие
P(x; y) = Q(x; y) .
y x
Если условие выполняется, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой, пока неизвестной, функцииU (x, y),
т.е. |
P(x; y) dx Q(x; y)dy = d U (x; y). |
|
Тогда, в соответствии с уравнением,dU (x; y) = 0,
и поэтому общий интеграл уравнения в полных дифференциалах |
|
запишется в виде |
U (x; y) = C. |
|
|
Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению функции U (x, y)
|
2. (3x2 6xy2 ) dx (6x2 y 4 y3 ) dy = 0, y(1) = 1 |
нное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т
Py (x; y) = (3x2 6xy2 )y = 12xy, |
|
|
(x; y) |
||||
|
(x; y) = (6x |
2 |
y 4y |
3 |
Py |
(x; y) = Qx |
|
Qx |
|
)x = 12xy, |
|
|
|
||
Выполнение критерия означает, что существует некая функция U (x; y), для которой
P(x; y) = 3x2 6xy2 = Ux
Q(x; y) = 6x2 y 4y3 = Uy
Из первого равенства, интегрируя поx, находим
U1(x; y) = (3x2 6xy2 )dx = x3 3x2 y2,
Из второго равенства, интегрируя поy,находим
U2 (x; y) = (6x2 y 4y3)dy = 3x2 y2 y4
Искомая функция
U (x; y) = U1 (недостающие слагаемыеиз U2 ) = x3 3x2 y2 y4
Общий интеграл уравнения x3 3x2 y2 y4 = c
Определение типа дифференциального уравнения 1-го порядка
В каком бы виде не было задано уравнение, в первую очередь необходимо проверить, не относится ли оно к уравнению с разделяющимися переменными.
Если нет, и уравнение записано в дифференциальной форме
f (x; y)dx g(x; y) dy = 0,
о можно сразу проверить, не относится ли оно к уравнениям полных дифференциалах.
сли и это не пройдет, остается убедиться в однородности или инейности уравнения.
ак правило, в последнюю очередь остается проверить, е относится ли уравнение к уравнению Бернулли.
Не следует также забывать о том, что уравнение может быть линейным или типа Бернулли относительно переменнойx.
Одно и то же уравнение относится сразу к нескольким типам.
Глава 2. Уравнения высших порядков
Дифференциальным уравнением2го порядка называется уравнени
|
|
|
|
x, |
y, |
|
которое содержит независимую переменную искомую функцию |
||||||
|
||||||
и ее производные1-го и 2-го порядка. |
|
|||||
Уравнение 2 |
го порядка может быть записано в я в н о й |
|
||||
|
форме |
|
|
|||
|
y |
|
= |
|
|
|
|
|
f (x; y; y ), |
|
|||
если оно разрешено относительно старшей производной
или в н е я в н о й
F(x; y; y ; y ) = 0.
Р е ш е н и е м дифференциального уравнения2 го порядка называетсялюбая дважды дифференцируемая функцияy = y(x),
оторая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.
б щ и м р е ш е н и е м уравнения 2-го порядка называется функ
y = y(x;C1;C2 )
аметим, что количество констант в общем решении уравнения авно порядку уравнения.
З а д а ч а К о ш и для уравнения состоит в нахождении частного решения уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и для уравнения2 го порядка являются задания значений искомой функции
и ее производных при заданном значенииx = x0.
y(x0 ) = y0, |
|
|
y (x0 ) = y0. |
||
Аналитический аппарат решения уравнений высшего порядка достаточно хорошо разработан для линейных уравнений. Нелинейные уравнения
можно аналитически решить только, если удается понизить порядок
уравнения до первого. Понизить порядок уравнения возможно в следующих случаях.