Таким образом, получим двойной интеграл, записанный в полярной системе координат
f (x, y) dxdy = f ( cos , sin ) d d
(D) |
(D*) |
|
|
Этот интеграл необходимо свести к повторному. Для этого |
|||
|
|
и |
|
5) Определяются пределы изменения переменных |
|
||
и строится соответствующий повторный интеграл. |
|
|
|
При этом следует иметь ввиду, что уравнения линий в |
|||
полярных координатах, как правило, имеют вид |
|
||
, |
= ( ) |
|
|
|
|
|
|
поэтому внутренний интеграл практически всегда вычисляется |
|
по переменной |
, а внешний -- по |
В полярной системе координат при расстановке пределов интегрирования удобно использовать стрелку, пересекающую область. Такой стрелкой является луч, выходящий из полюса и пересекающий границы области на линии входа и выхода.
Подавляющее большинство областей интегрирования в полярной системе координат можно соотнести с одной из 4-х приведенных схем, где для каждого случая записаны соответствующие повторные интеграл
Полюс внутри или на границе области интегрирования
2 |
( ) |
2 |
( ) |
d f ( cos , sin ) d |
d f ( cos , sin ) d |
||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Полюс вне области интегрирования |
||
2 |
2( ) |
2 |
2 ( ) |
||
d |
f ( cos , sin ) d |
d |
f ( cos , sin ) d |
||
0 |
|
1( ) |
1 |
|
1( ) |
1. Вычислить интеграл, перейдя к полярным координатам
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
9 dxdy |
|
|
||
(D) |
|
|
|
|
|
по области (D) :{x2 y2 |
9, x2 y2 25, |
x 0, |
y 0}. |
||
1) Построим область.Она. представляет собой кольцо, образованное двумя окружностями с центром в начале координат и радиусами 3 и 5
Условия x 0, y 0
означают, что из кольца остается только часть, лежащая в I-ой четверти.
Подынтегральная функция содержит сумму |
||||
квадратов x |
2 |
y |
2 |
поэтому имеет смысл |
|
|
, |
||
перейти в исходном интеграле к полярным координатам.
2)Элемент площади ds = dx dy = d d .
3)Подынтегральная функция
x2 y2 9 = 
2 9.
4) Уравнение границы области также записываем в полярной системе координат
x2 y2 = 9 2 = 9 = 3.
x2 y2 = 25 z 2 = 25 = 5.
Переменная изменяется в пределах от0 до /2.
Так как в данном примере полюс полярной системы координат- вне области интегрирования, то переменная внутреннего интеграла
изменяется в пределах от 1 = 3 (линия входа луча в область)
до |
|
2 |
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(линия выхода луча из области). |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5) Строим повторный интеграл |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 9 dxdy = |
2 |
9 d = |
||||
|
|
|
|
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(D) |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
Так как пределы внутреннего и внешнего интегралов постоянные, то можно вычислить внешний и внутренний интегралы независимо друг от друга и результаты перемножить.
|
/2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
/2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
= |
|
d |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d = |0 |
|
2 |
|
|
9 d( |
9) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
2 ( 2 |
9)3/2 |5 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|||||
|
|
[ (25 9)3/2 (9 9)3/2 |
] = |
|
163/2 |
= |
. |
|||||||||||||||
|
6 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Приложения двойного интеграла
С помощью двойного интеграла можно вычислить площадь плоской фигуры.
S dS
( D)
элемент площади, который можно записать Здесь dS
как в декартовой, так и в полярной системе координат
Площадь фигуры в декартовой системе координат
S dS dx dy
(D) (D)
Площадь фигуры в полярной системе координат
S dS d d
(D) ( D)
С помощью двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, если известен закон изменения плотности
(x; y)
Масса пластинки в декартовой системе координат
M (x; y) dx dy
(D)
Масса пластинки в полярной системе координат
M ( ; ) d d
(D)
Задача. Найти площадь фигуры, заданной условиями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D) :{xy 2, |
x y 3}. |
|
|
|
|
|||||||||||||
1) Строим линии:xy 2, |
|
y |
2 |
|
|
гипербо |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 3, |
y 3 x |
|
|
ла |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямая |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Находим точки пересечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 x, |
x2 3x 2 0, |
x 1, x |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
к, фигура ограничена сверху прямой, а снизу |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ерболой. Запишем формулу для вычисления |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
щади в декартовой системе координат и расставим пределы интегрирова |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y2 ( x) |
|
2 |
|
|
3 x |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S |
|
|
dS |
dx dy |
dx |
|
dy dx |
dy |
dx y |
32 x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
( D) |
|
|
(D) |
|
|
a |
y1 ( x) |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
4 1 2(ln 2 ln1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
x |
|
|
dx 3x |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 ln x |
1 3(2 1) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
3 |
|
2ln 2 1,5 1,38 0,12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача.
Вычислить массу пластинки (D) :{y 
3 x, y 
2ax x2 , y 0}. Плотность равна (x; y) y
1) Построим фигуру. |
Уравнение y = |
3 |
x есть уравнение |
|
прямой, а уравнение y = |
|
|||
2ax x2 |
преобразуем следующим образом |
|||
y = 
2ax x2 y2 = 2ax x2 x2 y2 = 2ax (x a)2 y2 = a2.
Мы имеем уравнение окружности с центром в точкеO (a; 0) и радиусом, равнымa.
Так как значения переменнойyпо условию задачи должны быть
положительными, то остается только верхняя часть круга.
Итак, область интегрирования ограничена прямой и окружностью и
находится в первой четверти
В данной ситуации имеет смысл перейти к полярным координатам.
2) Элемент площади ds = dxdy = d d .
3) Подынтегральная функция y = sin .
4) Уравнение границы области также записываем в полярной системе координат:
x2 y2 = 2ax 2 = 2a cos = 2acos .
y = 
3 x tg = 
3 = /3.
Запишем формулу для вычисления массы в полярных координатах
M ( ; ) d d
(D)
Переходим к повторному интегралу и расставляем пределы
2 2 ( )
M ( ; ) d d d sin d
( D) |
1 |
1 ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 до /3. |
|
Переменная внешнего интеграла изменяется в пределахот |
|||||||||||||||
Так как в данном примере полюс полярной системы |
|
|
|
||||||||||||
координат - на границе области интегрирования, то переменная |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
(вход луча в |
||
внутреннего интеграла изменяется в пределах от1 |
|
||||||||||||||
область) до |
|
2 |
= 2acos |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(линия выхода луча из области -- окружност |
||||||||||||
5) Строим повторный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
/3 |
2acos |
|
|
|
|
/3 |
|
2acos |
|
|
|
|
|
||
M d |
sin d = sin d |
|
2 d = |
|
|
||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
/3 |
|
3 |
|
2acos |
/3 |
8a3 cos3 |
|
|
8a3 /3 |
|
3 |
||||
= sin d |
|
|
|0 |
|
= sin |
|
|
d |
= |
|
sin cos d = |
||||
3 |
|
3 |
|
3 |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
8a3 |
/3 |
8a3 |
cos4 |
|0/3= |
2a3 |
1 (1/2)4 = |
5a3 . |
= |
cos3 d(cos ) = |
|||||||
|
3 |
0 |
3 |
4 |
|
3 |
|
8 |