39. Фср однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых действительных и комплексных корней.

Уравнение y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + a₂y^(n-2) + … + a_n-1y` + a_ny = 0 называется линейным  однородным  дифференциальным уравнением  n-го порядка с постоянными коэффициентами;  Где a_k - постоянные вещественные числа.  

Т. к.  функция f(x)  равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части (однородное). 

Система функций  y₁, y₂, y_3, …, y_n-1, y_n  называется линейно независимой в интервале  (a, b), если тождество C₁y₁ + C₂y₂ + …+ C_n-1y_n-1 + C_ny_n = 0

может выполняться только когда все C_k = 0. Если к  тому же каждая из функций y_k является частным решением однородного уравнения, то система решений однородного уравнения называется  фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная система решений найдена, то функция

y = C₁y₁ + C₂y₂ + …+ C_n-1y_n-1 + C_ny_n дает общее решение однородного уравнения.

Случай действительных корней:

Фундаментальная система решений имеет вид :

y₁ = e^λ1x, y₂ = e^λ2x, …, y_n-1e^λn-1x_, y_ne^λnx (У λ в степени коэфф)

Общее решение однородного уравнения:

y = C₁e^λ1x + C₂e^λ2x, …, C_n-1 e^λn-1x + C_ne^λnx

Случай комплексных корней:

Каждому вещественному  корню λ по-прежнему  соответствует  частное решения y = e^λx, а каждой паре комплексных сопряженных корней λ₁ = a + bi и   λ₂ = a - bi   соответствуют два линейно-независимых частных решения : 

y₁ = e^axcos(bx), y₂ = e^axsin(bx)

40. Фундаментальная система решений однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней.

Уравнение y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + a₂y^(n-2) + … + a_n-1y’ + a_ny = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами;  Где a_k - постоянные вещественные числа.  

Т. к.  функция f(x) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой части. (однородное) 

Система функций y₁, y₂, y_3, …, y_n-1, y_n называется линейно независимой в интервале  (a, b), если тождество C₁y₁ + C₂y₂ + …+ C_n-1y_n-1 + C_ny_n = 0

может выполняться только когда все C_k = 0. Если к тому же каждая из функций y_k является частным решением однородного уравнения, то система решений однородного уравнения называется  фундаментальной системой решений.

Если фундаментальная система решений найдена, то функция

y = C₁y₁ + C₂y₂ + …+ C_n-1y_n-1 + C_ny_n дает общее решение однородного уравнения.

Если среди корней  характеристического уравнения имеются кратные корни.

В этом случае каждому вещественному корню  кратности  k соответствует  k линейно-независимых частных решений вида e^λx, xe^λx, …, x^k-2e^λx, x^k-1e^λx, причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

y=e^λx(C₁ + C₂x + … + C_k-1x^k-2 + C_kx^k), а каждой паре комплексных сопряженных корней 

λ₁ = a + bi и λ₂ = a - bi  кратности  k  соответствуют  2k  линейно-независимых частных (решения вида

                                                        

В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

e^ax[(C₁ + C₂x + … + C_k-1x^k-2 + C_kx^k-1)cos(bx) + (C_k+1 + C_k+2x + … + C_2k-1x^k-2 + C_2kx^k-1)sinbx])