Ітерація №1
Перевірка критерію оптимальності. Поточний опорний план не є оптимальним, оскільки в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
Визначення нової базисної змінної. Як ведучу виберемо стовпець, відповідний змінній x2, оскільки це найбільший коефіцієнт за модулем.
Визначення нової вільної змінної. Визначимо значення Di по рядках як частка від ділення bi/ai2 і з них виберемо найменше:
Отже, 2-й рядок є ведучим. Розв’язуючий елемент дорівнює 5/2 і знаходиться на перетині ведучого стовпця та ведучого рядка.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
min |
x3 |
1 |
1/2 |
-1/2 |
1 |
1/2 |
0 |
- |
x5 |
5 |
1/2 |
5/2 |
0 |
-3/2 |
1 |
2 |
F(X2) |
3 |
5/2 |
-1/2 |
0 |
3/2 |
0 |
|
Перерахунок симплексної таблиці. Формуємо наступну частину симплексної таблиці. Замість змінної x5 в план 2 увійде змінна x2. Рядок, що відповідає змінній x2 в плані 2, отримана в результаті ділення всіх елементів рядка x5 плану 1 на розв’язуючий елемент РЕ=5/2. На місці розв’язуючого елемента отримуємо 1. В інших клітинках стовпця x2 записуємо нулі. Таким чином, в новому плані 2 заповнені рядок x2 і стовпець x2. Усі інші елементи нового плану 2, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
1-(5*-1/2):5/2 |
1/2-(1/2*-1/2):5/2 |
-1/2-(5/2*-1/2):5/2 |
1-(0*-1/2):5/2 |
1/2-(-3/2*-1/2):5/2 |
0-(1*-1/2):5/2 |
5 : 5/2 |
1/2 : 5/2 |
5/2 : 5/2 |
0 : 5/2 |
-3/2 : 5/2 |
1 : 5/2 |
3-(5*-1/2):5/2 |
5/2-(1/2*-1/2):5/2 |
-1/2-(5/2*-1/2):5/2 |
0-(0*-1/2):5/2 |
3/2-(-3/2*-1/2):5/2 |
0-(1*-1/2):5/2 |
Отримуємо нову симплекс-таблицю:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x3 |
2 |
3/5 |
0 |
1 |
1/5 |
1/5 |
x2 |
2 |
1/5 |
1 |
0 |
-3/5 |
2/5 |
F(X2) |
4 |
13/5 |
0 |
0 |
6/5 |
1/5 |
Перевірка критерію оптимальності
Серед значень індексного рядка немає від'ємних значень. Тому ця таблиця визначає оптимальний план задачі. Остаточний варіант симплекс-таблиці:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x3 |
2 |
3/5 |
0 |
1 |
1/5 |
1/5 |
x2 |
2 |
1/5 |
1 |
0 |
-3/5 |
2/5 |
F(X3) |
4 |
13/5 |
0 |
0 |
6/5 |
1/5 |
Оптимальний план можна записати так:
Аналіз оптимального плану
Значення 13/5>0 в стовпці x1 означає, що використання x1 невигідно.
Значення 0 в стовпці x2 означає, що використання x2 вигідно.
Значення 0 в стовпці x3 означає, що використання x3 вигідно.
Значення 6/5 в стовпці x4 означає, що тіньова ціна (двійкова оцінка) дорівнює y1=6/5.
Значення 1/5 в стовпці x5 означає, що тіньова ціна (двійкова оцінка) дорівнює y2=1/5
Побудова двоїстої задачі за такими правилами
Кількість змінних у двоїстій задачі дорівнює кількості нерівностей в початковій.
Матриця коефіцієнтів двоїстої задачі є транспонованою до матриці коефіцієнтів початкової.
Система обмежень двоїстої задачі записується у вигляді нерівностей протилежного сенсу нерівностям системи обмежень прямої задачі.
Стовпець вільних членів початкової задачі є рядком коефіцієнтів для цільової функції двоїстої. Цільова функція в одній задачі максимізується, а в іншій мінімізується.
Розширена матриця A
-1 1 -2 -2
2 1 3 8
-1 -1 3
Транспонована матриця AT
-1 2 -1
1 1 -1
-2 3 3
-2 8
Умовам невід’ємності змінних початкової задачі відповідають нерівності-обмеження двоїстої, спрямовані в іншу сторону. І навпаки, нерівностям-обмеженням у початковій задачі відповідають умови невід’ємності у двоїстій.
Нерівності, з'єднані стрілочками (↔), називаються спряженими
Початкова задача I |
|
Двоїста задача II |
x1 ≥ 0 |
↔ |
-y1+2y2≥-1 |
x2 ≥ 0 |
↔ |
y1+y2≥-1 |
x3 ≥ 0 |
↔ |
-2y1+3y2≥3 |
-x1-x2+3x3 → max |
↔ |
-2y1+8y2 → min |
-x1+x2-2x3≥-2 |
↔ |
y1 ≤ 0 |
2x1+x2+3x3≤8 |
↔ |
y2 ≥ 0 |
Рішення двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів. Використовуючи останню ітерацію прямої задачі, знайдемо оптимальний план двоїстої задачі:
Це ж рішення можна отримати, застосувавши теореми двоїстості. З теореми двоїстості випливає, що Y = C*A-1.
Складемо матрицю A з компонентів векторів, що входять в оптимальний базис: A = (A3, A2) =
-2 1
3 1
Визначивши обернену матрицю D=A−1 через алгебраїчні доповнення, отримуємо: D = A-1 =
-1/5 1/5
3/5 ⅖
Як видно з останнього плану симплексної таблиці, обернена матриця A−1 розташована в стовпцях додаткових змінних. Тоді Y = C*A-1 =
(3, -1) * -1/5 1/5
3/5 2/5 = (-6/5;1/5)
Оптимальний план двоїстої задачі дорівнює:
Критерій оптимальності отриманого рішення
Якщо існують такі допустимі рішення X і Y прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність цільових функцій F(x)=Z(y), то ці рішення X і Y є оптимальними рішеннями прямої і двоїстої задач відповідно.
Економічний зміст всіх змінних, що беруть участь у вирішенні
План виробництва Залишки ресурсів, одиниць
x1=0 |
x2=2 |
x3=2 |
x4=0 |
x5=0 |
↨ |
↨ |
↨ |
↨ |
↨ |
y3=13/5 |
y4=0 |
y5=0 |
y1=6/5 |
y2=1/5 |
Визначення дефіцитних та недефіцитних (надлишкових) ресурсів
Підставимо оптимальний план прямої задачі в систему обмежень математичної моделі:
1-ше обмеження прямої задачі виконується як рівність. Це означає, що 1-й ресурс повністю використовується в оптимальному плані, є дефіцитним, і його оцінка згідно з другою теоремою двоїстості відмінна від нуля (у1≠0).
2-ге обмеження прямої задачі виконується як рівність. Це означає, що 2-й ресурс повністю використовується в оптимальному плані, є дефіцитним, і його оцінка згідно з другою теоремою двоїстості відмінна від нуля (у2≠).
Двоїсті оцінки відображають порівняльну дефіцитність різних видів ресурсів у відношенні до показника ефективності, прийнятого в задачі. Оцінки показують, які ресурси є більш дефіцитними (вони матимуть найвищі оцінки), які менш дефіцитні та які зовсім не дефіцитні (надлишкові) - вони будуть дорівнювати нулю.