2.5.9. Оптимизация методом нормированных передаточных функций

Оптимизация контура по МО и СО приводит к получению передаточной функции общего вида (2.2), коэффициенты полиномов числителя и знаменателя которой отвечают условию (2.4). Наложение жестких требований относительно ограничения перерегулирования приводит к передаточной функции вида (2.7), имеющей нормированные характеристические уравнения, приведенные в табл. 2.6 и 2.7 (см. п. 2.5.7).

Аналогичные или близкие нормированные передаточные функции можно получить, если использовать и другие методы оптимизации контура как системы регулирования.

Задачу оптимизации можно решить, если сформулированный в п. 2.5.7 словесный критерий качества представить в виде интегрального показателя и затем минимизировать его. В [8] рекомендуется интегральный показатель качества

, (2.73)

которому соответствуют передаточные функции вида (2.7) с нормированными характеристическими уравнениями, приведенными в табл. 2.10.

Таблица 2.10

Нормированные характеристические уравнения передаточной

функции (2.7) при минимизации интеграла (2.73)

Порядок уравнения	Нормированное уравнение
2
3
4
5

Переходные характеристики, соответствующие уравнениям табл. 2.10, приведены на рис. 2.41. Перерегулирование при ступенчатом управляющем воздействии для систем, имеющих пятый порядок, не превышает 4–6 %.

Рис. 2.41. Нормированные переходные характеристики по управляющему воздействию, соответствующие передаточной функции вида (2.7) и уравнениям табл. 2.10: 2, 3, 4, 5 – порядок характеристического уравнения

Уже отмечалось, что вид переходного процесса определяется расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Для монотонных апериодических процессов, не имеющих перерегулирования, все корни должны быть вещественными, а для получения максимального быстродействия они должны быть кратными [9]. Нормированные характеристические уравнения передаточной функции вида (2.7) для этого случая приведены в табл. 2.11. Переходные характеристики, соответствующие уравнениям табл. 2.11, приведены на рис. 2.42.

Таблица 2.11

Нормированные характеристические уравнения передаточной функции

(2.7), соответствующие монотонным апериодическим процессам

Порядок уравнения	Нормированное уравнение
2
3
4
5

Рис. 2.42. Нормированные переходные характеристики по управляющему воздействию, соответствующие передаточной функции вида (2.7) и уравнениям табл. 2.11: 2, 3, 4, 5 – порядок характеристического уравнения

Повышение быстродействия контура приводит к росту перерегулирования, что требует при решении задачи оптимизации наложения дополнительного условия на допустимые значения величины перерегулирования. При перерегулировании не более 5 % максимальное быстродействие достигается при всех комплексных корнях (один вещественный, если порядок характеристического уравнения n нечетный) [9]. При этом вещественные части корней должны быть одинаковыми, а мнимые должны образовывать арифметическую прогрессию. Нормированные характеристические уравнения передаточной функции вида (2.7) для этого случая приведены в табл. 2.12. Переходные характеристики, соответствующие уравнениям табл. 2.12, приведены на рис. 2.43.

Таблица 2.12

Нормированные характеристические уравнения передаточной функции

(2.7), соответствующие максимальному быстродействию при

Порядок уравнения	Нормированное уравнение
2
3
4
5

Рис. 2.43. Нормированные переходные процессы по управляющему воздействию, соответствующие передаточной функции вида (2.7) и уравнениям табл. 2.12: 2, 3, 4, 5 – порядок характеристического уравнения

Для передаточной функции вида (2.2) с одним нулем при условии и наибольшее быстродействие при перерегулировании не более 10 % достигается при расположении корней на вещественной отрицательной полуоси по арифметической прогрессии [9]. Нормированные характеристические уравнения для этого случая приведены в табл. 2.13. Переходные характеристики, соответствующие уравнениям табл. 2.13, приведены на рис. 2.44.

Таблица 2.13

Нормированные характеристические уравнения передаточной функции

(2.7), соответствующие максимальному быстродействию при

Порядок уравнения	Нормированное уравнение
2
3
4
5

Рис. 2.44. Нормированные переходные характеристики по управляющему воздействию, соответствующие передаточной функции вида (2.2) и уравнениям табл. 2.13: 2, 3, 4, 5 – порядок характеристического уравнения

Сущность метода оптимизации контура по нормированным передаточным функциям заключается в следующем. Выбрав желаемую передаточную функцию, можно ставить задачу выбора типа регулятора и его параметров, с помощью которых можно изменить передаточную функцию исходной системы регулирования, приблизив ее к желаемой.