Kn = ∆ω0.7 . ∆ω0.1

Максимально-гладкая аппроксимация частотных характеристик фильтров

Для получения расчетных соотношений, позволяющих производить электрический расчет элементов фильтров, необходимо иметь аналитическое выражение, описывающее частотную характеристику фильтра, в частности АЧХ. Такoe выражение называют аппроксимирующим.

Известен метод максимально-гладкой аппроксимации частотных характеристик фильтров, позволяющий получить аппроксимирующее выражение

для нормированной АЧХ KH (ω) и затем производить расчет фильтров. Например, для ФНЧ используется выражение вида

где n - количество реактивных элементов в схеме фильтра;

ωс - частота среза ωс = ω0.7 ω - текущая частота.

Числоn можновыразитьчерезкоэффициентпрямоугольности Кn. Для этого найдем значение нормированной АЧХ на частоте ω0.1:

Таким образом, Kn и частота среза ωс полностью задают нормированную АЧХ фильтра.

Расчетные соотношения для реактивных ФНЧ

Метод максимально-гладкой аппроксимации позволяет достаточно просто получить расчетные соотношения для фильтров, собранных по так называемой лестничной схеме по одному из следующих вариантов (рис. 11.27).

На рис. 11.27 qk - нормированные по сопротивлению нагрузки RH и по частоте среза ωc безразмерные реактивные элементы фильтра.

Значения элементов qk определяются по формуле

где n - число элементов фильтра.

Затем вычисляются действительные значения индуктивностей и емкостей, соответствующие элементам qk.

В предположении, что сопротивление нагрузки RH равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС (Ri), величины реактивностей ФНЧ ( L, C ) вычисляются с помощью формул:

Для ФНЧ лестничная схема имеет вид, представленный на рисунке 11.28.

Расчетные соотношения для ФВЧ, ПФ и ЗФ

Полученныеранеерасчетныесоотношениядля L, C ФНЧ можно применить для расчета других основных видов L, C фильтров (ФВЧ, ПФ и РФ). С этой целью вместотекущейчастотыωввыражениедляаппроксимирующегополинома(11.5) следует подставить некоторую новую частоту ω’ или ω”, т.е. применить метод преобразования частоты.

Расчетные соотношения для реактивных ФВЧ.

Произведем смену ω на ω2 = ωC2 /ω' . Тогда аппроксимирующее выражение для нормальной АЧХ (11.5) примет вид

где n - число реактивных элементов фильтра, полученное с помощью формулы

(11.6).

Зависимость(11.9)графическиизображаетсякакАЧХдляФВЧ(рис.11.29). Если реактивные сопротивления элементов лестничного фильтра (см.

рис. 11.27) на прежней частоте ω имели вид

Как и следовало ожидать, элемент ФНЧ, обладающий индуктивным (емкостным) сопротивлением после замены частоты становится элементом, обладающим емкостным (индуктивным) сопротивлением.

Для определения индуктивности и емкости ФВЧ подставим значения L 'k и C 'k из формулы (11.8) в выражение (11.12) и получим

C

Такимобразом,дляпереходаотLC ФНЧ к LCФВЧнеобходимовсхеме(см. рис. 11.28) все индуктивности заменить на емкости, а все емкости – на индуктивности. Для ФВЧ лестничная схема фильтра принимает вид, представленный на рис. 11.30.

Рис. 11.29

Рис. 11.30

Расчетные соотношения для полосовых фильтров.

Для вывода соотношений, позволяющих рассчитать элементы лестничной схемы полосового фильтра, в выражении нормированной АЧХ и ФНЧ (11.5) произведем преобразование частоты:

где ω0 – среднее значение частоты в полосе прозрачности ПФ; ω' – текущее значение частоты.

Выражение для нормированной АЧХ полосового приобретает вид

На рис. 11.31 представлен график функции KH (ω') для ПФ. Из анализа соотношения (11.16) и рис. 11.31 следует:

• во-первых, максимальное значение АЧХ принимает на частоте

ω’ = ω0;

•во-вторых, при увеличении или уменьшении частоты относительно ω0 значение придаточной функции KH (ω') уменьшается;

•в-третьих, на частотах ω'= 0 и ω'= ∞ коэффициент передачи равен нулю.

Рассмотрим как нужно изменить схему ФНЧ (см. рис. 11.15):

Из полученного выражения видно, что после замены переменной (11.32) вместо реактивного сопротивления индуктивности в ФНЧ (см. рис. 11.28) появляется реактивное сопротивление, состоящее из двух последовательно соединенных сопротивлений: индуктивного ω' Lk и емкостного i / ω' C'k. Выражениедляиндивидуальностивэтомслучаесовпадаетссоотношением(11.8) для ФНЧ, в котором вместо ωс надо подставить в выражении (11.17) Δωпφ:

Соотношение для емкости может быть найдено следующим образом:

В соотношении для реактивной проводимости емкостного элемента исходного ФНЧ, вместо ω подставим выражение (11.15):

То есть вместо емкости исходного ФНЧ (см. рис. 11.28) в полосовом фильтре нужно включить параллельное соединение L'K и CK′ , величины которых вычисляются по формулам:

Таким образом, для перехода от ФНЧ к ПФ необходимо в схеме (см. рис. 11.28) все индуктивности заменить на последовательно соединенные индуктивность и емкость, величины которых вычисляются по формулам (11. 19) и (11.20), а все емкости – на параллельно соединенные индуктивность и емкость, значения которых оцениваются с помощью соотношений (11.21). Для реактивного ПФ дестничная система принимает вид, представленный на рис. 11.32.

Взаключение следует добавить, что число элементов фильтра вычисляется

спомощью соотношения (11.6), а безразмерные элементы фильтра qк – из формулы (11.7).

Расчетные соотношения для заградительных (ракеторных) фильтров.

Нормированную АЧХ ЭФ проще получить из АЧХ ФВЧ (11.9) путем подстановки

где ωp – частота режекции заградительного фильтра (см. рис. 11.25).

Рис. 11.32

В этом случае выражение для нормированной АЧХ ЗФ описывается соотношением

На рис.11.33 представлен график функции Кн (ω"),изкоторогоследует,что частоте режекции ωp Kн (ωp ) = 0, при ω" = 0 и ω" = ∞ коэффициент передачи принимает максимальное значение, равное единице:

Kн (0)= Кн (∞)=1.

Разность частот ∆ωрф =ω"2 −ω"1 =ωc равна полосе режекции ∆ωрф (см.

рис. 11.33).

В целях вывода расчетных соотношений для элементов ЗФ рассмотрим