4.3.6. Об интегрировании простых дробей

После разложения правильной дробно-рациональной функции на простые дроби, для нахождения интеграла может потребоваться найти интегралы четырех типов:

1); 2), (k > 1); 3) ; 4), (k > 1).

При этом квадратный трехчлен в 3-ем и 4-ом интегралах не имеет вещественных корней, так что .

Интегралы 1) и 2) легко находятся:

1) ; 2), (k > 1);

Нахождение интегралов третьего типа рассмотрено ранее.

Рассмотрим нахождение интеграла четвертого типа.

Чтобы устранить переменную х в числителе, сформируем в числителе производную квадратного трехчлена и получим два интеграла, один из которых будет табличным, а другой без переменнойх в числителе.

,

где .

Получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла . В квадратном трехчлене выделим полный квадрат и сделаем замену переменной.

.

Интеграл умножим и поделим на . В числителе подынтегральной дроби добавим и вычтем. Разобьем интегрална два интеграла. Первый из получающихся интеграловтого же типа, что и, только степень в знаменателе на единицу меньше. Второй интеграл можно найти по частям. Найдем

.

.

Тогда

.

Окончательно, получим рекуррентную формулу

.

Пример 4 27. Найти интеграл .

В числителе подынтегральной функции сформируем производную знаменателя () и разобьем интеграл на два интеграла

.

Один интеграл найдем с помощью замены переменной

.

В другом интеграле также сделаем замену переменной и разобьем на два интеграла, получим

_.

_.Здесь первый интеграл равен .

Второй интеграл найдем, используя метод интегрирования по частям.

.

Тогда интеграл

.

Найдем исходный интеграл

.

4.3.7. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций сводят с помощью подходящих замен к интегралам от рациональных функций.

Рассмотрим некоторые из возможных замен переменных, позволяющие свести интегралы от иррациональных функций к интегралам от рациональных функций.

I. Интегралы вида , гдеR  рациональная функция от иррациональных выражений вида: .

В данном случае необходимо применить подстановку , гдеn общий знаменатель дробей . Тогда.

Пример 4.28. Найти .

Выполняем замену переменной, находим

.

II. Интегралы вида .

В этом случае необходимо применить подстановку , гдеn – общий знаменатель дробей .

Пример 4.29. Найти .

Подстановка . Отсюда,,

, .

.

III. Три подстановки Эйлера для интеграла, где R  рациональная функция, .

1. Первая подстановка Эйлера .

Примем знак + перед и возведем в квадрат. Получим

.

Тогда  рациональное выражение и интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.

Пример 4.30. Найти .

Применим подстановку .

Тогда .

.

=

, где .

2. Вторая подстановка Эйлера имеет вид

Если принять знак + перед , то после возведения в квадрат получим

. .

Таким образом, иdx будут рациональными выражениями и интеграл будет от рациональной функции.

3. Третья подстановка Эйлера используется в случае, когда квадратный трехчлен под корнем имеет вещественные корни  и 

.

Подстановка имеет вид .

.

Пример 4.31. Найти .

; ;

;

;.. =

.