3. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом.
Рассмотрим перемещение заряда q из точки 1 в точку 2 электростатического поля:
|
|
|
|
A |
|
|
1 |
2 |
r |
|
r |
2 |
r |
r |
2 |
|
1 1 |
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 2 |
|
Fdl |
Edl |
El dl |
|||||||||||
|
|
|
|
|
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
El dl |
|
|
|
|||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 2
Для замкнутого контура:
1 2 ÑEl dl 0
l
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю.
Из раздела «механика»: |
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
dW |
|||||
r |
|
r |
r |
|
|
W |
|
W |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
F |
П |
||||
F |
F i F |
j F k |
|
П i |
|
П j |
|
П |
k |
gradW |
П |
|
|
|||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
к.с. |
x |
y |
z |
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
l |
dl |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
r |
|
|
E grad WП |
grad |
||
q |
|||
q |
|
|
r |
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
El |
d |
|
||||
|
E grad |
i |
y |
j |
z |
k |
|
|
|
|
dl |
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Силовая линия (СЛ) – линия, в каждой точке которой вектор напряженности поля направлен по касательной к этой линии.
Свойства силовых линий:
-начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных;
-не пересекаются.
Эквипотенциальная поверхность (ЭПП) – геометрическое место точек равного потенциала.
|
|
|
Рассмотрим направление, касательное к ЭПП в |
|||||
|
E |
|
точке А… |
|
|
|
|
|
|
|
dl элементарное перемещение вдоль этого |
||||||
|
|
|
направления… |
|
|
d |
|
|
А |
СЛ |
|
const |
|
0 |
|||
|
dl |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
ЭПП |
|
|
E d |
0 |
r |
|
r |
|
|
|
|
E |
dl |
||||
|
|
|
l |
dlr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EЭПП |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортогональность СЛ и ЭПП
ur |
|
1 q r |
|||||
E |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
4 0 r2 r |
|||||||
|
|
||||||
|
q |
4 0r |
|
q >0 |
q <0 |
|
E |
|
|
|
|
0 |
|
r |
|||
|
q 0 |
|
|||
|
|
|
q 0 |
||
|
|
|
|
||
0 |
|
r |
0 |
|
|
|
r |
||||
4. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса.
n
E
S dS
Рассмотрим поверхность (S) произвольной формы в электростатическом поле:
1. Sна dS |
|
|
|
|
|
|
rconst |
|
2. dSплоская |
|
мала, |
E |
. |
||||
r |
, |
|
r |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. n dS |
|
n |
|
|
|
|
||
Элементарный поток вектора Е через площадку dS
d E EndS E cos dS EndS
Поток Е через поверхность S
E EndS
S
Рассмотрим поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую сферическую поверхность в случае одного положительного точечного заряда, помещенного в центр сферы.
r
S
|
E |
E ÑEndS |
|
|
n |
S |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
q |
|
|
|
|
En Eодинако |
ва |
... |
|
|
4 0 |
r2 |
|
q 0 |
E EÑdS E4 r2 |
|
S |
||
|
E |
1 q |
4 r2 |
q |
|||
|
|
|
|
|||
4 0 r2 |
0 |
|||||
|
|
|||||
E q0
Обобщение: независимость величины потока от формы замкнутой поверхности.
|
|
|
E1 поток через S1 |
|
r |
|
E |
E 2 поток через S2 |
|
n |
|
q |
||
|
|
|||
|
|
|
E1 E 2 |
E 0 |
q 0
S1 |
S2 |
|
E |
q |
|
|
|
0 |
Заряд вне замкнутой поверхности
E |
n |
E |
|
E1 поток через S1 |
|
|
|
E 2 поток через S2 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
E |
суммарный поток |
|
n S1 |
S2 |
E |
E 2 |
E1 |
|
|
||||
q
E E1 E 2 0
Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную (в вакууме).
qm 1 |
q2 |
q |
|
1 |
|
qm 2 |
q |
|
m |
qN
Обозначения:
q , q ....qвнутри |
S |
|||
1 |
2 |
m |
|
|
q |
, q |
m 2 |
....qвне S |
|
m 1 |
|
N |
|
|
E 10 im1 qi
Доказательство теоремы Гаусса:
qm 1 |
|
q1 |
|
q2 |
|
E ÑEndS ÑEndS |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
qm 2 |
|
|
|
qm |
|
r |
|
N S |
r |
S |
|
|
|
|
qN |
|
|
|
|
E Ei |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
r r |
m |
r r |
N |
|
r r |
m |
qi |
|
1 m |
|
E |
Ñ |
|
|
|
Ñ |
|
Ñ |
|
|
0 |
|
qi |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( Ei )ndS |
EindS |
|
EindS |
0 |
|
||||||||
|
S |
|
i 1 |
|
i 1 S |
i m 1 S |
|
i 1 |
|
0 i 1 |
||||
E 10 im1 qi