Доказательство существования
электромагнитных волн.
В 1865 г. Максвелл доказал, что колеблющиеся заряды образуют в окружающем пространстве последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке пространства…
Докажем, что существование ЭМВ является следствием ур-ий Максвелла.
|
Для нейтральной, |
|
|
|
|
|
|||||
непроводящей среды: |
|
|
|
|
|||||||
j 0, 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
1. rot E |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
А |
|
|
|
|
|
|||
2. |
rot H |
0 |
|
|
|
а |
|
|
|
||
|
|
t |
н |
|
о |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
г |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
3. divE 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
|
H ) |
|
|
rot rot E rot ( |
|
|
||||
|
|
|
0 |
t |
r |
2 E |
|
|
0rot |
H 0 0 |
t2 |
||
t |
||||||
rot rot A grad div A A
rot rot E grad divE E 0 E
r |
2 E |
E 0 0 |
t2 |
4. divH 0 |
|
r |
2 H |
|
|
|
H 0 0 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 E |
|
|
|
1 2 |
|
r |
2 H |
|
|
|
E 0 0 |
t2 |
|
|
|
H 0 0 |
t2 |
|
|||
|
|
|
2 |
t2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электромагнитное поле может существовать в виде волны, распространяющейся со скоростью, Зависящей от электромагнитных свойств среды:
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1888г.Герц… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В вакууме: |
1 |
с |
1 |
3 |
108 м / с |
|
|
с |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
0 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 = 8,85419·10–12 Ф/м,
μ0 = 1,25664·10–6 Гн/м.
|
|
Свойства плоской бегущей электромагнитной волны. |
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
Пусть: ox |
|
|
|||||||
В.П. |
|
|
Во всех точках В.П. Eи H одинаковы. |
|
|||||||||
|
|
|
|
Все |
|
и |
|
|
равны 0 |
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||
v |
|
0 |
|
z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Перепишем и упростим ур-ия Максвелла: |
|||||||||||
x |
|
y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
H |
|
|
r |
|
E |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1. |
rot E |
0 |
|
|
2. rot H |
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
0 |
t |
||
r |
|
E |
|
Ey |
|
r |
|
E |
|
|
|
|
E |
r |
|
Ey |
|
E |
|
r |
|
E |
|
r |
|
Ey |
|
|
r |
||||||
rotE |
( |
|
z |
|
|
|
)i ( |
|
|
x |
|
|
z ) j |
( |
|
|
|
x )k |
|
|
|
|
z |
j |
|
|
|
|
|
k |
|||||
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ox: |
1.1 |
|
|
Hx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Ox: |
2.1 0 |
|
Ex |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Oy: |
1.2 0 |
H y |
|
Ez |
|
|
|
|
Oy: |
2.2 |
0 |
|
Ey |
|
|
Hz |
|||||||||||||||||||
|
t |
|
x |
|
|
|
|
|
t |
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Oz: |
1.3 0 |
Hz |
|
Ey |
|
|
|
|
|
|
Oz: |
|
2.3 |
|
|
Ez |
|
|
H y |
|
|||||||||||||||
|
t |
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналогично
r
3. divE 0
divEr Ex Ey Ez Exx y z x
3. Exx 0
1.1 0 Hx 0
t
1.2 0 H y Ezt x
1.3 0 Hz Ey
t x
r
4. divH 0
r |
H |
x |
H y |
|
H |
z |
|
H |
x |
divH |
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
z |
|
x |
|||||
|
x |
|
|
|
|||||
4. Hxx 0
2.1 0 Ex 0
t
2.2 0 Ey Hz
t x
2.3 0 Ez H y
t x
1.1 |
0 |
|
Hx 0 |
4. |
Hx 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
1.2 |
|
|
|
H y |
|
E |
z |
|
|
||||||||
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
1.3 |
|
|
|
H |
z |
|
Ey |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
t |
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.1 0 |
Ex |
0 |
|
|
|
|
3. |
E |
x 0 |
||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
2.2 0 |
|
Ey |
|
|
|
Hz |
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||
2.3 0 Ez H y
t x
2).
Hx const. |
H x 0 |
H ox |
Если нет стационарных полей…
Ex const. |
Ex 0 |
E ox |
|
z |
Повернем оси OZ и OY вокруг оси OX |
||||||
|
|
|||||||
|
|
так, чтобы E |
было направлено вдоль |
|||||
E |
|
oси OY… |
|
|
|
Ez 0 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
H y |
Ez |
|||
|
1.2 0 t |
|
x 0 |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
2.3 |
E |
z |
|
H y |
0 |
|
|
|
0 |
t |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
H y const. |
|
H y 0 |
||||
E |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
E POY , H POZ |
||||||
3). |
E H |
Итак, плоская бегущая ЭМВ распространяется вдоль оси ОХ… OX
E(O, Ey ,O) |
E(t, x) |
H (O,O, Hz ) |
H (t, x) |
Ey Em cos( t kx 1)
Hz Hm cos( t kx 2 )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3 0 |
H |
z |
Ey |
|
H sin( t kx |
) E |
k sin( t kx |
) |
) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
t |
|
|
x |
0 |
m |
2 |
m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ey |
|
|
Hz |
|
|
|
|
|
) |
|||
2.2 0 |
|
|
|
x |
0 Em sin( t kx 1 ) Hmk sin( t kx 2 ) |
|
|||||||
|
t |
|
|||||||||||
4).
Выполняется, когда 1 2 , т.е.
начальные фазы колебаний векторов Е и Н
совпадают.
) |
0 |
Hm |
Em |
5). |
|||
) |
|
0 |
E |
m |
H |
m |
|
|
|
|
|
||||
|
0 Em |
0 Hm |
|
||||
|
0 E |
|
0 H |
|
|||
y
z
х
Плотность потока энергии ЭМВ. Вектор Умова Пойтинга.
Пл-ть потока эн-ии упр. волны.
|
|
j |
dW |
|
Вт м2 |
|
|
dS dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
dWэнергия |
за dt через S |
||||
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 
j
w
12 a2 2
w wE |
wH |
|
0 E2 |
|
0 H 2 |
|
||||
2 |
|
2 |
|
|
||||||
0 E |
0 H |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пл-ть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w 0 E |
2 |
0 H |
2 |
|
0 0 EH |
|||||
энергии: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Плотность потока энергии ЭМВ. Вектор Умова Пойтинга:
j w |
0 0 |
EH EH sin |
|
|
0 0 |
2 |
|||
|
|
j S E H |
S j |
|
S