1. Динамика распространения волн в упругой среде. Уравнение Даламбера
Рассмотрим плоск. прод. бег. волну в однор., изотроп.,
упругой среде.
Положения равновесия 2-х |
|
|
|
|
Относит. деф- |
|
|
||||||||||||||
соседних частиц упругой |
|
|
|
|
|
z |
ция в среде |
|
|
|
|||||||||||
среды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Растяжение. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
Сжатие. |
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dz |
|
|
|
|
Колебательная |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
ск-ть частицы |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
Ск-ть распр-я пост.фазы |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
к-ий совпадает со |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скоростью бег.волны. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Фазовая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
скорость |
dz |
|
dz |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
Док- |
|
d( t kz ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k dt 0 |
dt |
k |
2 |
T |
|
||||||||||
|
|
|
dt |
|
|||||||||||||||||
|
во: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отклонение…
Кол. ск-ть…
Уск-ие…
Отн. деф- ия…
Напряжение
…
a cos (t z )
|
a sin (t |
z |
) |
|
|
t |
|
|
|||
|
|||||
2 |
a 2 cos (t |
z |
) |
||
t2 |
|
||||
|
|
||||
|
a sin (t |
z |
) |
|
z |
|
|||
|
|
|||
2 |
|
a 2 |
cos (t |
z |
) |
z2 |
2 |
|
|||
|
|
||||
max z max t
2 |
|
|
1 2 |
||
|
|
|
|
||
z2 |
2 t2 |
||||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
t2 |
|
|
|
|
е |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даламбер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Осн.ур-ие динамики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
волн) |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Упругие деформации сжатия и растяжения. |
|
||||||||||||
L , S - … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
Fn |
|
|
|
|
L |
- Абсолютная деформация |
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L L |
|
L |
|
|
|
L L |
|
L |
|
- Относительная деформация |
||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn |
- Нормальное напряжение |
|||
|
Fn |
|
|
|
Fn |
|
|
|
|
S |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПЫТ: |
L |
: |
F |
L |
|
Fn |
|
|
Fn |
1 L |
|
S |
L |
|
L |
|
n |
L |
S |
|
|
L |
S E |
L |
|||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||
- Коэф-т упругой |
|
|
1 |
|
|
- Модуль |
|
|
|
|
||||
податливости E |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Юнга |
|
|
|
|
|
3. Потенциальная энергия упругой деформации
|
Fn |
E S |
L |
E S |
|
Fn : L |
(Fx x) - З-н |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
Гука |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенц.эн-ия упругой |
(W kx2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
деформации пружины |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E S L
Потенц.эн-ия упругой |
|
|
1 |
|
S |
|
|
|
|
Wn |
E |
L |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
деформации стержня |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
L |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 E |
S |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|||||||||
Wn |
|
|
|
|
L |
2 |
|
|
E SL |
|
|
|
E SL |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
L |
|
L |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Потенц.эн-ия упругой |
|
Wn |
|
1 E SL 2 |
|
деформации стержня |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Скорость распространения бегущей волны в упругой
1. |
Рассмотрим плоскую |
|
|
|
z,t |
|
a cos( t kz) |
|
|
||||||||
продольную бегущую волну, |
|
|
|
|||||
|
распространяющуюся в |
a const. |
||||||
|
однородной, изотропной, упругой |
const. |
||||||
|
среде. |
const. |
||||||
|
k const. |
|||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим физически малый объем в виде прямого цилиндра, ориентированного вдоль направления распространения Z.
m V S z
F |
F2 |
Z |
F E S L |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
L |
|
|
|
|||
|
|
|
F1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
E |
S |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z z |
|
|
|
F2 |
|
|||
|
|
|
E |
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
Z Z |
2-ой з-н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
F2 F1 E S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z Z |
z |
|
|||
Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
f ( k ) (a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a h) h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
z1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
.... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
1! |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Z Z |
|
0! z |
Z |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
z |
|
Z |
|
z |
|
|
Z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничимся 2-мя первыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
членами… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m |
2 |
E S z |
2 |
|
t2 |
|
z2 |
|
|
|
|
m |
2 |
|
S z |
2 |
S z V |
t2 |
E |
z2 |
V |
||
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
m 2 |
|
m 2 |
|
2 |
|||
z2 |
E S z |
t2 |
E V |
t2 |
E |
t2 |
|||
Ур-ие Даламбера :
2 |
|
|
1 2 |
||
|
|
|
|
||
z2 |
2 t2 |
||||
|
|||||
2 2
z2 E t2
ия |
|
E |
|
Ск-ть распр- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продольной |
|
|
|
волны |
|
|
|
Распространение поперечной волны (в тв. 2. телах) связано с возможностью упругих
деформаций сдвига.
|
S |
|
n |
Ft |
1 Ft |
ОПЫТ: |
S |
G S |
|||
|
|
|
|
|
n Коэф-т
G сдвига
|
|
Модуль |
Ft |
Можно |
сдвига |
|
||
|
показать: |
|
Ск-ть распр- |
b |
G |
ия |
|
|
поперечной |
|
|
волны |
|
|
G 0, 4E |
G E |
b |
Жан Лерон Даламбер. 1717 — 1783
Даламбер был незаконным сыном маркизы де Тансен . Вскоре после рождения младенец был подкинут матерью на ступени парижской церкви Св. Иоанна Круглого. В честь этого святого ребёнок был назван Жаном Лероном. Воспитывался в усыновившей его семье стекольщика.