3. ГОСТ Р.34.10-01
11
Понятие об эллиптической кривой
12
Вспомогательные определения
Группой G называется множество элементов , , …обладающее,
следующими свойствами:
1. определена некоторая операция двух переменных,+ = (операция сложения) ИЛИ = (операция умножения).
2. На множестве G выполняются законы:
-В результате применения операции к двум элементам группы также
получается элемент этой группы ( свойство замкнутости); -( + )+ = +( + ) ИЛИ ( ) = ( ) ;
-В группе существует единичный элемент, который обозначается как 0 для сложения и как 1 для умножения, при этом для любого элемента группы справедливо 0+ = +0 ИЛИ 1 = 1;
-Каждый элемент группы обладает обратным элементом, который обозначается как - для сложения, при этом +(- )=0, ИЛИ -1 для умножения, при этом -1 =1.
Если + = + ИЛИ = , то группа называется абелевой, Число элементов в группе называется порядком группы. 13
Пример ЭК на полем вещественных чисел
y2=x3-5x+3
Если взять две различные точки, P и Q, на кривой, то соединяющая их хорда пересечет кривую в третьей точке. Зеркально отразив точку пересечения относительно оси абсцисс, получим точку, являющуюся суммой P + Q. На эллиптической кривой определена также операция умножения точки на число. Сложение двух точек с координатами xP= xQ и
y P = – yQ дает нулевую точку O.
14
Операции сложения
P=(X1,Y1) |
|
|
Q=(X2,Y2) |
|
|
P+Q=(X3,Y3) |
|||
X =λ2-X |
-X |
2 |
Y |
=λ(X -X |
-Y |
) |
|||
3 |
1 |
|
3 |
|
1 |
3 |
1 |
|
|
λ=(Y2-Y1)/(X2-X1), если P≠Q |
λ=3((X1)2+a)/2Y1, если P=Q |
||||||||
15
Генерирование ключей
16
Алгоритм формирования подписи на эллиптической кривой по ГОСТ Р34.10-01
17
Алгоритм проверки подписи
18
Формирование подписи в ГОСТ Р34.10-01
|
Н АЧАЛО |
|
|
|
Ввод сообщения M |
|
|
||
и ключа подписи d |
|
|
||
Хеширование сообщения h (M ) |
|
|
||
|
|
да |
|
|
|
h( M ) 0 |
|
|
|
|
|
нет |
Установить |
h(M ) 000 . . . 01 |
Генерирование случайного |
|
|
||
числа k, |
0 < k < q |
|
|
|
Вычисление точки эллиптической |
|
|
||
кривой С ( xC , yC ) k P(xP , yP ) |
|
|
||
Вычисление первого параметра |
|
|
||
подписи |
r xС (mod q) |
|
|
|
да |
r = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
нет |
|
|
Вычисление второго параметра |
|
|
||
подписи |
s (rd kh (M )) mod q |
|
|
|
да |
s = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
нет |
|
|
Передача сообщения М и его |
|
|
||
цифровой подписи {r, s} |
|
19 |
||
|
|
|
|
|
КОНЕЦ
Проверка подписи в ГОСТ Р34.10-01
Н АЧАЛО
Ввод принятых сообщения |
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
|
|
|
|
|
||||||||
и его цифровой подписи |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
{r, s} |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
нет |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 r q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
да |
|
|
нет |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 s q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хеширование сообщения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h(M ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Установить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет |
|
|
|
h(M ) 000 . . . 01 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v h(M ) 1 (mod q) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисление значений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z 1 sv mod q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z 2 rv mod q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычисление точки эллиптической кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C ( x c , yc ) Z 1P( x p , y p ) Z 2Q( x q , yq ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление |
|
|
R xc (mod q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подлинность принятого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сообщения и авторство |
|
|
|
Подпись неверна |
|||||||||
отправителя удостоверены |
|
|
|
|
20 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
КОН ЕЦ