3.4.2.Методы выявления и исследования последовательностей ошибок

Ошибки в каналах связи появляются в результате воздействия различного рода случайных помех. Поэтому последовательность ошибок является случайной последовательностью, а ее характеристики - случайными величинами. Основной метод изучения последовательности ошибок – статистический метод.

Сущность данного метода заключается в том, что с помощью специальных приборов производятся исследования каналов различного типа. В процессе исследований выявляются и накапливаются последовательности ошибок за длительный промежуток времени. Обработка и обобщение полученных статистических данных позволяют установить и изучить закономерности появления ошибок в каналах связи. Знание этих закономерностей, в свою очередь, позволяет научно обоснованно определять наиболее эффективные меры борьбы с ошибками.

Для получения достоверных статистических результатов объемы выборок последовательности ошибок должны быть такими, чтобы они охватывали все характерные состояния канала. Опытным путем установлено, что для получения достоверных статистических данных каналы, образованные проводными, радиорелейными и тропосферными линиями связи, должны испытываться в течение нескольких суток непрерывно, а коротковолновые радиоканалы - по нескольку суток в различное время года. При этих условиях объем выборки может достигать и более элементов по каждому каналу. Испытаниям подвергаются действующие каналы в обычных условиях эксплуатации. Первичные характеристики каналов должны соответствовать установленным нормам и периодически контролироваться в процессе испытания.

Сущность общепринятого метода выявления последовательности ошибок в дискретном канале заключается в следующем. На вход канала подается испытательная двоичная последовательность (испытательный текст). На выходе дискретного канала из принятой последовательностипоэлементно вычитается, в результате чего образуется последовательность ошибок. В том случае, когда необходимо выявить лишь последовательность модулей ошибокЕ, на выходе дискретного канала достаточно произвести поэлементное сложение по модулю 2 последовательностейи:+=Е.

Статистическая структура испытательной последовательности должна быть достаточно близка к структуре передаваемой информации. Этому условию удовлетворяют двоичные последовательности, вырабатываемые генераторами последовательности максимальной длины ( ГПМД). Благодаря этому, а также вследствие простоты реализации ГПМД получили наибольшее распространение в качестве генераторов испытательной последовательности.

В зависимости от задач статистических измерений ошибки могут непосредственно подсчитываться с помощью счетчиков или записываться на долговременный носитель для последующей обработки.

3.4.3 Основные закономерности распределения ошибок в реальных каналах связи

A. Характер распределения ошибок в реальных каналах

Одним из основных параметров последовательности ошибок является частота появления ошибок p_L. Частость появления ошибок (или просто частость ошибок) определяется как отношение числа ошибок М_ош =, появившихся за определенный отрезок времени t , к общему числу переданных символов L:

При достаточно большом L частость ошибок сходится с вероятностью появления ошибки (вероятность ошибки) p. Значения p для различных типов каналов приведены в таблице 3.1.

В течение длительного времени, когда отсутствовали статистические данные реальных каналов связи, предполагалось, что ошибки в каналах связи появляются независимо. При таком распределении ошибок значение i-го элемента последовательности ошибок Е не зависит от того, какое значение принимает любой другой j-й элемент данной последовательности.

Пусть Р{e_i=1}=p, P{(e_i=1)/(e_j=1)} — вероятность приема i-го элемента с ошибкой (e_i=1) при условии, что ошибка произошла на j-м месте (e_j=1), а Р{(e_i=1)/(e_j=0)} — вероятность приема i-го элемента с ошибкой при условии, что j-й элемент принят правильно. Ошибки появляются независимо, если выполняется условие:

Р{(e_i=1)/(e_j=1)}=Р{(e_i=1)/(e_j=0)}=Р{e_i=1}=p

В противном случае появление ошибок является зависимым событием.

При независимых ошибках достаточно знать значение единственного параметра р, чтобы определить распределение любой случайной величины. Для этого достаточно воспользоваться схемой Бернулли. В частности, вероятность появления в n-элементной комбинации ровно i ошибок P(i,n) определяется биномиальным распределением:

( 0 ≤i≤n).

Вероятность приема комбинации без ошибки P(0,n)=(1 — p)ⁿ= qⁿ . Следовательно, вероятность появления искаженной комбинации, т.е. комбинации, содержащей хотя бы одну ошибку,

, при np « 1, P(≥1,n) ≈ np.

Вероятность появления m и более ошибок в комбинации длины n:

.

Иногда (при m<n/2) для вычисления P(≥m,n) удобнее пользоваться формулой, полученной из условия, что

:

.

Многочисленные исследования реальных каналов связи не подтвердили гипотезу о независимом характере появления ошибок.

Рис.3.1

Данные исследования показали, что ошибки появляются группами (пачками). Частость ошибок во время появления группы ошибок возрастает и становится значительно больше вероятности р. На рисунке 3.1 в качестве примера, иллюстрирующего групповой характер появления ошибок, приведено абсолютное число ошибок, появляющихся за каждые пять минут суток в кабельном телефонном канале связи. Это число определялось по результатам испытания канала в течение шести суток. Ошибки, как показано на рисунке 3.1 группируются в определенные промежутки времени. В ночное время число ошибок в подавляющем большинстве пятиминутных сеансов равно нулю или меньше десяти. В первой половине дня число ошибок за пятиминутные интервалы редко бывает равно нулю, а в большинстве превышает сотни и тысячи ошибок. Испытания проводились на скорости телеграфирования N=1200 бод, поэтому L=5·60·1200=3.6·10⁵элементов. Частость ошибок p_Lв ночное время колеблется в пределах 0÷3·10^-5, а в дневное время — 0÷10^-2.

Таким образом, появление ошибок в реальных каналах является зависимым событием, поэтому схема Бернулли не применима. Расчеты по формулам, полученным на основе данной схемы, приводят к значительным, а во многих важных для практики случаях и недопустимым погрешностям. Групповой характер появления ошибок проявляется во всех статистических характеристиках последовательности ошибок. Поэтому для математического описания этой последовательности недостаточно знать один параметр р, а необходимо определить дополнительные параметры, учитывающие степень зависимости появления ошибок в реальных каналах.

Б.Зависимость вероятности появления искаженной комбинации от длины

Статистическая вероятность появления искаженной комбинации определяется как отношение числа искаженных комбинаций B_ош(n) к общему числу комбинаций B₀(n), т.е.

.

Вероятность Р(≥1,n) является неубывающей функцией n. При n=1 Р(≥1,n)=р, а при n→∞ вероятность P(≥1,n) с ростом n зависит от характера распределения ошибок.

На рис. 3.2 показана функция P(≥1,n) в логарифмическом масштабе, т.е. logP(≥1,n)=logp+logn. Это выражение является уравнением прямой, пересекающейся с осьюyточкеy=pпод углом β₁. Так как угловой коэффициентtgβ₁=1, тоβ₁=π/4.

Для гипотетического канала, у которого часть последовательности ошибок e₁=e₂=…=e_Мош=1, а остальная частьe_Мош+1=e_Мош+2=…=e_L=0, на интервале 1≤i≤M_ошчастость ошибок р_L1 =M_ош /M_ош= 1, а на участкеi>M_ош частость ошибок р_L2=0. Так как число искаженных комбинаций длиныnB_ош(n)=М_ош /n, а общее число комбинацийB₀=L/n, то вероятность появления искаженной комбинации:

.

Таким образом, для канала, у которого ошибки появляются плотной группой на одном из временных

и

Рис. 3.2

нтервалов, вероятность появления искаженной комбинации не зависит отnиlogР(≥1,n)=logp. Это выражение представляет собой уравнение прямой линии, параллельной оси абсцисс, так какtgβ= 0 иβ= 0 (прямаяIIна рис.3.2). Эта прямая пересекается с осьюyв точке с ординатой, равной р. ПрямыеIиIIна рис.3.2 являются границами (пределами) зависимости Р(≥1,n) =f(n), т.е.p≤ Р(≥1,n) ≤np.

Исследования каналов показали, что для реальных каналов зависимости logР(≥1,n) =f(logn) достаточно хорошо аппроксимируются прямыми линиями при числе элементов в комбинации от 1 до 500. Прямые, соответствующие этим зависимостям, находятся между указанными выше границами и имеют угол наклона β < β₁ (прямыеIIIна рис.3.2 с углами наклона β₂ и β₃). Такой характер зависимости Р(≥1,n) =f(n) является следствием группового характера появления ошибок в реальных каналах. Для описания зависимости Р(≥1,n) =f(n) достаточно определить значение двух параметров: вероятности ошибки р и углового коэффициентаtgβ. Обозначимtgβ= 1 – α, тогда

log Р(≥1,n) = log p + (1 - α) log n

или

Р(≥1,n) = n^1-α p.

Если α=0, то tgβ = 1, что соответствует независимому появлению ошибок. При этом Р(≥1,n) =np(прямаяIна рис.3.16). Если α = 1, тоtgβ = 0, что соответствует предельно групповому характеру появления ошибок в реальных каналах (прямыеIIIна рис.3.2). Параметр α характеризует степень группирования ошибок и поэтому получил названиепоказателя группирования ошибок. Показатель группирования является важным параметром последовательности ошибок.

Параметр α определяется по статистическим данным. Из выражения для logР(≥1,n) имеем:

.

Подставив исходные значения Р(≥1,n), после преобразования получим:

.

Для вычисления параметра α по статистическим данным последовательность ошибок разбивают на подпоследовательности длиной n, определяют число искаженных комбинаций В_ош(n) и вычисляют значение α. Однако вычисление параметра α при одном значенииnможет дать значительную погрешность, так как значения В_ош(n) на конечной выборке могут иметь случайные выбросы. Для более точного вычисления параметра α вычисляют ρ значений α при ρ значенияхn. По полученным значениям α_iопределяют параметр α как среднее значение α_i, т.е.

Значения nберутся из интервала, гдеnp«1.

При ρ=5÷10 погрешность вычисления параметра α становится несущественной.

Значения параметра α для различных каналов связи приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

Тип канала	Значение ρ		Значение α
	макс.	мин.	макс.	мин.
Кабельные телефонные	10-4	10-6	0.7	0.5
Радиорелейные телефонные	10-3	10-4	0.5	0.3
КВ радиотелеграфные	10-1	10-3	0.4	0.3

Наибольшее значение α принимает для телефонных кабельных каналов, потому что кратковременные прерывания в различных промежуточных пунктах кабельной магистрали приводят к появлению групп с большой плотностью ошибок.

Меньшее значение α имеет для радиорелейных телефонных каналов, так как в них, наряду с участками большой плотности, наблюдаются участки с редкими ошибками, появляющимися за счет повышения уровня шумов.

В КВ радиотелеграфных каналах вследствие замирания сигнала и воздействия помех обычно наблюдаются не только пачки ошибок, но и одиночные ошибки. Поэтому показатель группирования принимает, как правило, наименьшие значения.

Для каналов тонального телеграфирования обычно параметр α имеет такое же значение, что и для кабельных телефонных каналов, так как причины возникновения ошибок одни и те же.

В. Распределение ошибок в комбинациях различной длины

При оценке эффективности блоковых корректирующих кодов интерес представляет не только вероятность появления n-элементных искаженных комбинацийP(≥1,n), но и вероятности появления комбинаций с однойP(1,n), двумяP(2,n) иmошибкамиP(m,n).

Под вероятностью появления комбинаций длины ncmошибками будем понимать. Очевидно, что:

.

Кроме того, для оценки эффективности некоторых корректирующих кодов необходимо знать суммарную (накопленную) вероятность появления искаженных комбинаций с mи более ошибками:

.

Статистическая вероятность появления n-элементных комбинаций сmи более ошибками определяется как отношение числа комбинаций сmи боле ошибками к общему числу комбинаций:

,

где В(i,n) – числоn-элементных комбинаций, содержащихiошибок; В₀(n) =- общее число переданныхn-элементных комбинаций.

Рис.3.3

На рис. 3.3 в логарифмическом масштабе показаны графики Р(≥m,n) для радиотелеграфного канала с параметрами р = 1,37 · 10^-2и α = 0,4. Точками на этом рисунке нанесены экспериментальные значения Р(≥m,n), которые на участке 1≤m≤n/3 достаточно хорошо аппроксимируются прямыми линиями (сплошные линии). Исследования зависимости Р(≥m,n) =f(m) на реальных каналах показали, что на участкеm<n/3 значения Р(≥m,n) с ростомmубывают медленно, что свидетельствует о наличии искаженных комбинаций с большим числом ошибок и является следствием группового характера появления ошибок в реальных. Скорость убывания вероятности Р(≥m,n) с ростомmразлична для различных каналов и определяется степенью группирования ошибок. Достаточно хорошая аппроксимация начальной части зависимостиlogР(≥m,n) =f(logm) прямыми линиями позволяет получить приближенную формулу для вычисления Р(≥m,n) приm<n/3 с использованием параметровpи α:

На рис. 3.3 для сравнения пунктирными линиями приведены зависимости Р(≥m,n) =f(m), вычисленные для случая независимых ошибок при том же значении р = 1.37 ·10^-2. В этом случае с увеличениемmвероятности Р(≥m,n) уменьшаются значительно быстрее, чем те же вероятности, полученные экспериментально. Данный пример показывает, что групповой характер появления ошибок существенно влияет на распределение их внутри комбинаций.