Задача 1.1

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 1000 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8 % в год, по акциям В – 10 %. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Сформулируем экономическо-математическую модель задачи. Обозначим через x₁стоимость приобретенных акций концерна А,x₂– стоимость приобретенных акций предприятия В. Необходимо максимизировать прибыль:

maxf(x) = 0,08x₁+ 0,1x₂,

при ограничениях

x₁– 2x₂0

x₂≤ 100

x₁+x₂≤ 300

x₁,x₂≥ 0

Полученная задача – задача линейно программирования. Построим ОДР задачи.

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

1. x₁ – 2x₂ = 0

2. x₂ = 100

3. x₁ + x₂ = 300

1. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (160; 200) с началом координатO(0, 0).

2. Построим некоторую линию уровня 0,08x₁+ 0,1x₂=a. Пусть, например,a= 26. На рисунке такой линии уровня отвечает прямаяOX, перпендикулярная вектор - градиенту.

3. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня OXв направлении вектор - градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.

Максимум функции будет находиться в точке пересечения прямых x₁+x₂= 300 иx₂= 100.

Таким образом, максимума функции (26 ден. ед.) достигается при x₁= 200,x₂= 100. Если решать задачу на минимум, то минимум функции будет равен 0, так как функция ограничена снизу осямиOx1 иOx2.

Задача 2.1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья IиIIвидов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырьяIIIвида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Обозначим через x₁,x₂,x₃,x₄– количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

max(12x₁+ 7x₂+ 18x₃+ 10x₄)

x₁+ 2x₂+x₃≤ 18

x₁+x₂+ 2x₃+x₄≤ 30

x₁+ 3x₂+ 3x₃+ 2x₄≤ 40

x_j≥ 0,j= 1, 2, 3, 4.

Приведем задачу к каноническому виду

max (12x₁ + 7x₂ + 18x₃ + 10x₄)

x₁ + 2x₂ + x₃ + x₅ = 18

x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ + x₆ = 30

x₁ + 3x₂ + 3x₃ + 2x₄ + x₇ = 40

x_j≥ 0,j= 1-7.

Решим каноническую задачу симплекс-методом.

Базис	Z	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	Реш	b/aij	Комм
z	1	-12	-7	-18	-10	0	0	0	0		не опт
x5	0	1	2	1	0	1	0	0	18	18
x6	0	1	1	2	1	0	1	0	30	15
x7	0	1	3	3	2	0	0	1	40	13,33	x3 вBaz
z	1	-6	11	0	2	0	0	6	240		не опт
x5	0	2/3	1	0	- 2/3	1	0	- 1/3	4,67	7	x1 вBaz
x6	0	1/3	-1	0	- 1/3	0	1	- 2/3	3,33	10
x3	0	1/3	1	1	2/3	0	0	1/3	13,33	40
z	1	0	20	0	-4	9	0	3	282		не опт
x1	0	1	1,5	0	-1	1,5	0	-0,5	7
x6	0	0	-1,5	0	0	-0,5	1	-0,5	1
x3	0	0	0,5	1	1	-0,5	0	0,5	11	11	x4 вBaz
z	1	0	22	4	0	7	0	5	326		опт
x1	0	1	2	1	0	1	0	0	18
x6	0	0	-1,5	0	0	-0,5	1	-0,5	1
x4	0	0	0,5	1	1	-0,5	0	0,5	11

Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.

z= 326 – максимальное значение целевой функции. Решениеx₁= 18,x₂= 0,x₃= 0,x₄= 11.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья используемых в производстве продукции.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x₁= 18,x₂= 0,x₃= 0,x₄= 11):

18 + 2 ∙ 0 + 0 = 18

18 + 0 + 2 ∙ 0 + 11 = 29 ≤ 30 (*)

18 + 3 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 2 ∙ 11 = 40

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 12 ∙ 18 + 7 ∙ 0 + 18 ∙ 0 + 10 ∙ 11 = 326.

2. Двойственная задача имеет вид:

min (18y₁ + 30y₂ + 40y₃)

y₁ + y₂ + y₃ ≥ 12

2y₁ + y₂ + 3y₃ ≥ 7

y₁ + 2y₂ + 3y₃ ≥ 18

y₂ + 2x₃ ≥ 10

y_j ≥ 0.

Для нахождения оценок y₁,y₂,y₃используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, тоy₂= 0. Так какx₁> 0 иx₄> 0 , то

y₁+y₂+y₃– 12 = 0

y₂+ 2x₃– 10 = 0.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y₂* = 0

y₁* +y₂* +y₃* = 12

y₂* + 2x₃* = 10,

т.е. y₁* = 7,y₂* = 0,y₃* = 5.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

φ(Y) = 18 ∙ 7 + 30 ∙ 0 + 40 ∙ 5 = 326, т.е.f(X) =φ(Y) = 326.

3. Значение переменных x₂иx₃в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделия Б и В невыгодно изготавливать.

4. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

• Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья Iтипа привело бы к увеличению общей стоимости на 7 у.е. (y₁= 7), увеличение запасов сырьяIIIтипа привело бы к увеличению общей стоимости на 5 у.е. (y₃= 5), а увеличение запасов сырьяIIтипа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.

В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье IIпосколькуy₂= 0.

Острее ощущается дефицитность сырья I(y₁= 7) – он более дефицитен, чем сырьеIII(y₃= 5).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 5 : 7.

• Определим, как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и IIвида на 4 и 3 ед. соответственно и уменьшения на 3 ед. сырьяIIIвида.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

x₁+ 2 ∙ 0 + 0 = 22

x₁+ 0 + 2 ∙ 0 +x₄= 33

x₁+ 3 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 2x₄= 37.

Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях – X= (x₁= 22,x₂= 0,x₃= 0,x₄=7,5) соответственно прибыль составит 339 у.е., т.е. увеличится на 13 у.е.

• Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий «Д» ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

7 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 5 ∙ 2 – 10 = 14 > 0 – невыгодно.