Средняя цена товара по трем рынкам определится как

Хг = (200+460+110)/(200/2,0+460/2,3+110/2,2) = 770/345,6 = 2,228 тыс. руб.

Мода - наиболее типичное, чаще всего встречаемое значение признака. В случаях интервальных рядов с равными интервалами модальным интервалом считается интервал с наибольшей частотой, а при неравных интервалах - интервал с наибольшей плотностью. При неравных интервалах расчет моды выполняется с помощью таблицы 7.18 следующей формы:

Таблица 7.18.

Образец построения

Интервалы группировки	Интервальная разность	Частота	Частость	Плотность
i	i	fi	i = fi / fi	I = I / i

Значение моды в этом случае определяется как:

M_o = X_н + а₁ / 2а₂,

где Xн — значение нижней границы модального интервала; а₁ и а₂ — параметры, определяемые сле­дующим образом:

а₁ = 2(3(X_1*₂ + X₂*_I) - а₂*X₁*X₂(X₂² – X₁²))/ (3*X₁*X₂(X₂ – X₁),

а₂ = 3(X_x *X₂(X₂ – X₁)* ₃ –(X₃ – X₂)(X₁(X₃ + X₂ – X₁) ₂ + X₂X₃)) / (X1*X2*X₃(X₃ – X₂)(X₂ – X₁)(X₃ –X₁).

где X₁, X₂, X₃ - границы трех интервалов, полученные после приведения нижней границы модального интервала к нулю (путем вычитания ее фактической величины из всех границ фактических, интервалов; при этом X₁ — нижняя граница предмодального интервала, X₂ - верхняя граница модального интервала, X₃ - верхняя граница постмодального интервала); _{1 ,} _{2 ,} ₃ - частости этих трех интервалов.

Мода интервального вариационного ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле:

Мо = X_m – I_m(f_m – f_m-1)/( f_m – f_m-1) + (f_m – f_m+1)

где X_m— нижняя граница модального интервала;

i_m — величина модального интервала;

f_m — частота модального интервала;

f_m-1 — частота предмодального интервала;

f_m+1 — частота послемодального интервала.

Например, по данным проведенного экспертного опроса (метод «Дельфи») о перспективах объема продаж товара «Х» составлена таблица 7.19 опроса.

Таблица 7.19

Данные анкетного опроса о перспективности объема продаж в млн. руб.

Эксперт	Прогноз объема продаж	Эксперт	Прогноз объема продаж	Эксперт	Прогноз объема продаж
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	21 14 19 18 16 22 14 15 18 20	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	17 16 21 20 18 18 16 21 16 19	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	22 15 18 16 19 23 17 19 19 17

Для определения оптимального количества групп – m с равными интервалами рекомендуется формула Стэрджесса:

m = 1 + 3,21 * LgN 5,

где N — количество экспертов.

Ширина интервала равна (Х_max – X_min)/m = (23-14)/5= 1,8. Результаты можно представить в табл. 7.20.

Таблица 7.20

Данные упорядоченного вариационного ряда

Величина объемов продаж в интервальном ряду	14,0-15,8	15,8-17,6	17,6-19,4	19,4-21,2	21,2-23,0
Среднее значение интервала ()	14,9	16,7	18,5	20,3	22,1
Количество экспертов, отдавших предпочтение данному варианту (mi)	4	8	10	5	3

Средняя величина прогнозируемого объема продаж определяет наиболее вероятную величину показателя, поскольку ее расчет исходит из упорядочения разнообразных тенденций и мнений. В данном примере:

= (14,9*4+16,7*8+18,5*10+20,3*5+22,1*3)/30=18,2 млн. руб.

Величина объема продаж, за которую высказалось наибольшее количество экспертов (мода), характеризует вариант объема продаж, наиболее часто встречающийся в данном вариационном ряду. Этот показатель при прогнозировании объема продаж имеет большое значение, так так с его помощью можно выявить преобладающее суждение специалистов по исследуемому вопросу. Определяется величина объема продаж (мода) по формуле:

где - соответственно верхняя и нижняя границы того интервального показателя за который высказалось наибольшее количество экспертов;

m_r-1, m_r, m_r+1 – соответственно частоты предшествующего, данного и последующего интервалов.

Медиана — значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. При исчислении медианы интервального ряда сначала находится интервал, содержащий медиану. Медианному интервалу соответствует первый из интервалов, для которых накопленная сумма частот превышает половину общей совокупности наблюдений. Внутри найденного интервала расчет медианы производится по формуле:

M_e = X_m^H + d_i(0,5N – F_i-1)/f_i,

где: X_m^H — нижняя граница медианного интервала; d_i — величина интервала разбиения; F_i-1— накопленная частота интервала; N — число наблюдений; f_i,— частота медианного интервала.

Медиана делит вариационный ряд пополам по вероятности. Определяют еще квартили, которые делят вариационный ряд на 4 равновеликие по вероятности части, и децили, делящие ряд на 10 равновеликих по вероятности частей.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называется вариацией признака. Рассмотрим показатели вариации (колеблемости) признака.

Показателями линейной вариации выступают размах, среднее линейное отклонение, среднее относительное отклонение. К показателям квадратического отклонения относят сумма квадратов отклонений, среднеквадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

Для характеристики совокупностей и исчисленных средних величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средними. Основа показателей общая —оценка отклонений значений показателей элементов совокупности от средней.

Размах представляет собой разность между мак­симальной и минимальной величиной признака:

R = x_max - x_min

Среднее линейное отклонение:

 = x_i - X/ N,

где x_i — значение показателя; X — среднее арифметическое значение. Среднее линейное отклонение в «чистом» виде для анализа не применяют, используя как составляющую для вычисления среднего относительного отклонения:

 =  / X.

Сумма квадратов отклонений является основой для вычисления относительного показателя — дисперсии:

D = (x_i – X)² / N,

или для интервальных рядов:

D =  (x_i – X)² *f_i / f_i

Среднее квадратическое отклонение:

 = D.

Среднеквадратическое отклонение показывает, как расположена основная масса единиц совокупности относительно среднеарифметической. В соответствии с теоремой П.Л. Чебышева , что независимо от формы распределения 75% значений признака попадут в интервал X2, по крайней мере 89% всех значений попадут в интервалX3.

Коэффициент вариации:

V = /X *100 %.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации (колеблемости) признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений близких к нормальному). Коэффициент вариации важен и в тех случаях, когда нужно сравнивать средние квадратические отклонения, выраженные в разных единицах измерения.

Для удобства расчетов технология заполнения таблицы 7.21 следующая:

Таблица 7.21

Исходная таблица

Интервалы группировки	Частота	Центр интервала	Произведение	Произведение
i	fi	xi	fixi	fi2xi

Средняя ошибка выборки маркетинговых исследований показывает среднюю величину всех возможных расхождений выборочной и генеральной средней. Величина средней квадратической стандартной ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле:

Предельная ошибка выборки рассчитывается по формулеt, где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности Р. Значения t при заданной вероятности Р определяются по таблице значений функции , которая выражается интегральной формулой Лапласа, и отражает зависимость междуt и вероятностью Р.

Рассмотрим пример. Расчет рекламного бюджета - R в зависимости от планируемого темпа –Т сбыта товара, описывается функцией: R = 18 – 0,3 Т + 0,003Т² . Необходимо оценить относительную погрешность вычисления рекламного бюджета при темпе сбыта Т= 90% с точностью 5%.

Определим эластичность –Е функции сбыта по абсолютной величине

Е = d(R)/R = Т(-0,3 + 0,006Т)/(18 – 0,3Т + 0,003Т²), где d(R) - производная от функции рекламного бюджета. Тогда при Т = 90, Е = 1,41 , а относительная погрешность – Р = Е * 5% = 1,41*5=7,1%.

Для получения представления о форме распределения случайной величины строят графики распределения (полигон и гистограмму). Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, которое получилось бы при полном погашении всех случайных причин. Исследование закономерности включает решение 3 задач: 1) выяснение общего характера распределения; 2)построение кривой на эмпирическом распределении; 3) проверка соответствия эмпирического распределения теоретической кривой.